La genèse du théorème de recouvrement de Borel

Maurey, Bernard; Tacchi, Jean-Pierre

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 11 (2005) no. 2, pp. 163-204.

Nous nous proposons de rendre à Émile Borel le mérite d'avoir considéré le premier un recouvrement d'un segment de droite par une suite infinie d'intervalles et prouvé que l'on peut en extraire un sous-recouvrement fini. L'appellation de théorème de Heine-Borel souvent donnée à ce résultat, en référence à un article de Heine de 1872, conduit à sous-estimer les différences avec le théorème sur la continuité uniforme (dont une première version peut être attribuée à Dirichlet, en 1854) ; cette dénomination nous paraît ainsi inadéquate. En replaçant le théorème de recouvrement dans le cadre de la thèse où il figure, en 1894, nous rappelons qu'en l'introduisant, Borel jette en fait les bases d'une nouvelle théorie de la mesure.

We intend to show that Émile Borel was indeed the first to consider a covering of a straight line segment by an infinite sequence of intervals, and to prove that a finite sub-covering can be extracted from it. The name Heine-Borel theorem, often given to this result by reference to Heine's article from 1872, leads to an underestimation of the differences between this theorem and that on uniform continuity (a first version of which can be attributed to Dirichlet in 1854); this name thus seems inappropriate. We recast the covering theorem in the context of Borel's thesis, where it appeared, in 1894, and we recall that when Borel proved this result, he actually laid the foundations for a new theory of measure.

Mot clés : thèse de Borel, théorème de recouvrement, théorème de Heine, continuité uniforme, mesure et topologie, Émile Borel, Dirichlet, Lebesgue
Keywords: Borel's thesis, covering theorem, Hiene's theorem, uniform continuity, measure and topology, Émile Borel, Dirichlet, Lebesgue

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