Exploration d'un mode d'écriture de la généralité : l'article de Poincaré sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (1905)

Robadey, Anne

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 10 (2004) no. 2, pp. 257-318.

L'analyse de l'article de Poincaré sur les géodésiques fait apparaître qu'il entretient des liens complexes avec les travaux antérieurs de Poincaré en mécanique céleste. Nous montrerons que le problème des géodésiques des surfaces convexes est traité comme un paradigme grâce auquel Poincaré explicite une méthode qui n'était présentée qu'à l'état d'ébauche dans ses ouvrages de mécanique céleste. Cette étude de cas permet ainsi de mettre en évidence l'utilisation par Poincaré d'une technique d'écriture mathématique particulière, et d'en relever plusieurs caractéristiques. Le mode d'exposition pour lequel il opte, qui consiste à présenter une méthode sur un problème particulier plutôt qu'en des termes plus abstraits, ne perd pas de vue la visée générale de la méthode, mais cette généralité s'exprime par des moyens spécifiques.

An analysis of Poincaré's 1905 paper on geodesics reveals the complex links between this paper and Poincaré's previous work on celestial mechanics. We will show that the question of geodesics on convex surfaces functions as paradigm, through which Poincaré develops a method that he only sketched in his work on celestial mechanics. This case study thus allows us to explore Poincaré's use of a particular way of writing mathematics and to highlight some of its features. The way he chooses of presenting a method-in the context of a particular problem rather than in more abstract terms-does not obscure the method's generality, but this generality is expressed in terms of specifics.

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[32] Poincaré (Henri) [1886] Sur les courbes définies par les équations différentielles (4e partie), J. math. pures appl. (4e série), 2 (1886), p.151-217. [Poincaré, Œuvres 1, p.167-222. | JFM | Numdam

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[34] Poincaré (Henri) [1891a] Le problème des trois corps, Revue générale des sciences, 2 (1891), p.1-5. [Poincaré, Œuvres 8, p.529-537.

[35] Poincaré (Henri) [1891b] Sur le problème des trois corps, Bulletin astronomique, 8 (1891), p.12-24. [Poincaré, Œuvres 7, p.480-490 (il s'agit d'un exposé, sans démonstration, des principaux résultats obtenus dans [Poincaré 1890] susceptibles d'intéresser les lecteurs du Bulletin astronomique).

[36] Poincaré (Henri) [1892-1899] Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Paris : Gauthier-Villars, 1892-1899 (abrégé en Méthodes nouvelles).

[37] Poincaré (Henri) [1905a] La valeur de la science, Paris : Flammarion, 1905 (cité d'après la réédition de 1970).

[38] Poincaré (Henri) [1905b] Leçons de mécanique céleste, Paris : Gauthier-Villars, 1905.

[39] Poincaré (Henri) [1905c] Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes, Transactions of the American Mathematical Society, 6 (1905), p.237-274. [Poincaré, Œuvres, 6, p.38-84] (cité d'après la pagination de l'édition des Œuvres). | JFM | MR

[40] Poincaré (Henri) [1921] Analyse de ses travaux scientifiques, par Henri Poincaré. Acta mathematica, 38 (1921), p.3-135.

[41] Riemann (Bernhard) [Werke] Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, H.Weber et R.Dedekind, éditeurs, Leipzig : Teubner, 1876 (cité d'après la seconde édition de 1892, avec le supplément de M.Noether et W.Wirtinger (1902), réimprimée en 1990 conjointement par Springer Verlag et Teubner, sous le titre Gesammelte mathematische Werke, Wissenschaftlicher Nachlass und Nachträge. Collected papers). | JFM | Zbl

[42] White (Brian) [1991] The space of minimal submanifolds for varying Riemannian metrics, Indiana University Mathematics Journal, 40 (1) (1991), p.161-200. | MR | Zbl