L'objet de cet article est d'examiner la vision des nombres telle qu'elle apparaît dans les ouvrages de S.F.Lacroix. Marqué par le génétisme sensualiste de Condillac, ce dernier sut le dépasser et bâtir ses textes, comme le recommandait d'Alembert, autour d'idées simples, issues d'une vision mathématique dégagée des débats métaphysiques. Sans prétendre construire de système philosophique, il bâtit une œuvre d'une profonde cohérence. Partant des nombres entiers et des opérations arithmétiques, il construit les fractions pour étendre la division. L'algèbre, c'est-à-dire la théorie des équations polynomiales, donne naissance à une nouvelle espèce de nombres, les quantités algébriques. Lacroix montre soigneusement que les nombres négatifs et imaginaires sont susceptibles de toutes les opérations arithmétiques et permettent de résoudre toutes les équations polynomiales. Sa géométrie s'ouvre par la description de l'anthyphérèse qui lui permet de définir le rapport comme limite de rationnels et étend encore le champ des nombres. La cohérence des approches est approfondie dans l'application de l'algèbre à la géométrie. Le calcul infinitésimal est fondé sur la notion de limite, sans recours aux infinitésimaux et s'appuyant sur la loi de continuité dont il donne les principes. Il est étendu aux fonctions de plusieurs variables, se dégageant de l'ambiguïté de la notion de quantités qui recouvrait nombres et grandeurs. Les traités de Lacroix sont parmi les tous premiers à être fondés sur une théorie des nombres purement abstraite, certes incomplète, mais qui ouvre la voie aux avancées du xixe siècle.
This article aims to study the conception of numbers in the books of S.F.Lacroix. Influenced by the genetic sensualism of Condillac, Lacroix went beyond it and constructed his books, as d'Alembert suggested, on simple ideas that stemmed from a vision of mathematics detached from metaphysical debates. Without building a philosophical system, his work was deeply consistent. Beginning with integers and arithmetical operations, he constructed fractions in order to extend division. Algebra, that is the theory of polynomial equations, gave birth to a new kind of number, algebraic quantities. Lacroix carefully showed that negative and imaginary numbers obeyed all the laws of arithmetic and satisfied polynomial equations. His geometry began with a description of anthyphairesis, which allowed him to formulate a conception of ratio as a limit of rational numbers, thereby extending the domain of numbers. The consistency of his approach was increased by the application of algebra to geometry. Calculus was based on the concept of limit, without infinitesimals and supported by a law of continuity the properties of which he provided. It was extended to functions of several variables, without the ambiguity of the concept of “quantity” which shrouded numbers and magnitudes. Lacroix's textbooks were among the very first to be founded on a purely abstract theory of numbers, one that was incomplete to be sure but one which opened the way to nineteenth-century advances.
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Lamandé, Pierre. La conception des nombres en France autour de 1800 : l'œuvre didactique de Sylvestre François Lacroix. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 10 (2004) no. 1, pp. 45-106. http://www.numdam.org/item/RHM_2004__10_1_45_0/
[1] [1991] Une discipline dans tous ses états : La statistique à travers ses traités (1800-1914), Revue de synthèse, 4esérie, 2 (2001), p.161-204.
[2] [1667] Nouveaux éléments de géométrie, Paris : Charles Savreux, 1667.
[3] et [1981] Réédition critique de la Langue des calculs de Condillac, Lille : Presses universitaires de Lille, 1981. | MR | Zbl
[4] [1967] La représentation géométrique des quantités imaginaires au début du XIXe siècle, Conférences du Palais de la Découverte, Paris, 1967. | MR
[5] [1798] Traité de calcul différentiel et intégral, Paris : Imprimerie de la République, 1798.
[6] [1981] Les étapes de la philosophie mathématique, rééd. avec une préface de J.T.Desanti, Paris : Blanchard, 1981. | MR | Zbl
[7] [1797] Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, Paris : Duprat, 1797. | JFM
[8] [1803] Géométrie de position, Paris : Imprimerie du Chapelet, 1803.
[9] [1789] ‘D'Alembert, l'économie des principes et la métaphysique des sciences', dans [CIS 1989, p.135-152].
[10] [1932] Die Philosophie der Aufklärung, Tübingen : Mohr, 1932. Trad. française : La philosophie des Lumières, Paris : Fayard, 1966.
[11] [1821] Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, Paris : Debure, 1821.
[12] [1837] Aperçu historique des méthodes en géométrie, Bruxelles : M. Hayez, 1837.
[13] [1798] La langue des calculs, Paris : Houël, 1798.
[14] [Œuvres] Œuvres en 12 vol. publiés par A.Condorcet, E. O'Connor et F.Arago, Paris : Firmin-Didot, 1847-1849.
[15] [1992] ‘La méthode critique du mathématicien philosophe', dans [Dhombres, dir., 1992, p.171-201].
[16] [1751] Discours préliminaire de l'Encyclopédie, t.1, Paris : Briasson, 1751.
[17] [1759] ‘Essai sur les éléments de philosophie', dans Mélanges de littérature, d'histoire et de philosophie, nouvelle édition revue, corrigée et augmentée par l'auteur, vol.4, Amsterdam : L.Chatelain et fils, 1759.
[18] [1767] ‘Éclaircissements sur divers endroits des éléments de philosophie', dans Mélanges de littérature, d'histoire et de philosophie, vol.5, Amsterdam : L.Chatelain et fils, 1767.
[19] [1986] Essai sur les éléments de philosophie, Paris : Fayard, 1986 (rééd. des textes de 1759 et 1767).
[20] [1810] Rapport historique sur les progrès des sciences mathématiques depuis 1789, Paris : Imprimerie impériale, 1810 ; rééd. avec présentation et notes de J.Dhombres, Paris : Belin, 1989.
[21] [1805] Éléments d'idéologie, troisième partie : logique, Paris : Courcier, 1805.
[22] [1982] La langue des calculs de Condillac ou comment propager les Lumières, Sciences et techniques en perspective, 2 (1982), p.197-230.
[23] [1989] Naissance d'un nouveau pouvoir : sciences et savants en France 1793-1824, Paris : Payot, 1989.
[24] [1997] Lazare Carnot, Paris : Payot, 1997.
[25] , dir. [1992] L'École normale de l'an III. Leçons de mathématiques, Paris : Dunod, 1992. | MR
[26] et [1998] Fourier créateur de la physique mathématique, Paris : Belin, 1998.
[27] [2003] Histoire des nombres complexes, Paris : CNRS Éditions, 2003. | MR | Zbl
[28] GERGONNE (Joseph Diaz) [1813] Réflexions sur le même sujet [les quantités négatives], Annales de mathématiques pures et appliquées, 4 (1813), p.6-20.
[29] [1986] Musées et lycées parisiens (1780-1830), Dix-Huitième siècle, 18 (1986), p.249-267.
[30] [1978] Les sciences humaines et la pensée occidentale, t.VII : La conscience révolutionnaire les idéologues, Paris : Payot, 1975.
[31] [1758] De l'esprit, Paris : Durand, 1758.
[32] [1973] ‘Lacroix, Sylvestre François', dans Dictionary of Scientific Biography, vol.VII, New York : Charles Scribner's Sons, 1973, p.549-551.
[33] [1981] Les trois couleurs du tableau noir, la Révolution, Paris : Belin, 1981.
[34] [1987] Atlas de la Révolution française, t.2 : L'enseignement, Paris : Éditions de l'EHESS, 1987.
[35] [1996] L'École normale de l'an III : bilan d'une expérience révolutionnaire, Revue du Nord, t.LXXVIII, no317, p.853-886 et 1023-1040.
[36] [1962] The Structure of Scientific Revolutions, Chicago : University of Chicago Press, 1962 ; trad. fr. par Laure Meyer, Paris : Flammarion, 1983.
[37] [1795] Essai de géométrie descriptive sur les plans et les surfaces courbes ou éléments de géométrie descriptive, Paris : Fuchs, Régent et Bernard, 1795 ; 2eéd. 1802 ; 5eéd. 1822 ; 6eéd. 1829 ; 7eéd. 1840.
[38] [1797] Éléments d'algèbre par Clairaut, 5eédition avec des notes et additions tirées des cours de l'École normale et précédées d'un traité élémentaire d'arithmétique, 2 vols, Paris : Duprat, 1797. Les notes et les additions sont de Lacroix ; l'arithmétique de Biot.
[39] [1797-1798] Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Paris : Duprat 1797-1798. Il ajoute en 1800 un Traité des différences et des séries. Le tout est refondu et complété dans deux éditions en 1810 et 1819, Paris : Courcier, 1797-1798.
[40] [1797a] Traité élémentaire d'arithmétique, Paris, Duprat, 1797 ; 2eéd. 1800 ; 3eéd. 1801 ; 4eéd. 1804 ; 6eéd. 1805 ; 7eéd. 1807 ; 9eéd. 1811 ; 13eéd. 1813 ; 15eéd. 1820 ; 16eéd. 1823 ; 17eéd. 1826 ; 19eéd. 1836 ; 20eéd. 1846.
[41] [1797b] Note anonyme sur le calcul, Moniteur universel, 1(1797), p.500.
[42] [1798a] Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne et sphérique et d'application de l'algèbre à la géométrie, Paris : Duprat, 1798 ; 2eéd. 1800 ; 3eéd. 1803 ; 6eéd. 1813 ; 7eéd. 1822 ; 9eéd. 1837 ; 10eéd. 1852 ; 11eéd. 1863.
[43] [1798b] Supplément à la théorie des solutions particulières des équations différentielles, Bulletin de la Société philomatique, 1 (1798), partie2, p.86-88.
[44] [1799a] Éléments de géométrie, Paris : Duprat, 1799 ; 2eéd. 1802 ; 3eéd. 1803 ; 4eéd. 1804 ; 5eéd. 1806 ; 9eéd. 1811 ; 10eéd. 1814 ; 11eéd. 1819 ; 12eéd. 1822 ; 13eéd. 1825 ; 14eéd. 1830 ; 15eéd. 1836 ; 16eéd. 1837 ; 17eéd. 1855 ; 18eéd. 1863 ; 19eéd. 1871 ; 22eéd. 1884 ; encore édité en 1897 et 1912.
[45] [1799b] Éléments d'algèbre, Paris : Duprat, 1799 ; 2eéd. 1800 ; 3eéd. 1802 ; 4eéd. 1803 ; 5eéd. 1804 ; 6eéd. 1807 ; 10eéd. 1812 ; 14eéd. 1825 ; 15eéd. 1830 ; 16eéd. 1836 ; 17eéd. 1847 ; 20eéd. 1852 ; 21eéd. 1854 ; 22eéd. 1868 ; 23eéd. 1871.
[46] [1800a] Discours sur l'instruction publique prononcé à la distribution des prix des écoles centrales de la Seine le 29 thermidor an VIII, Paris 1800 (Un exemplaire se trouve à la bibliothèque de l'Institut, AA 532, no2).
[47] [1800b] Compléments des éléments d'algèbre à l'usage de l'école centrale des Quatre-Nations, Paris : Duprat, 1800 ; 2eéd. 1801 ; 3eéd. 1804 ; 5eéd. 1825 ; 6eéd. 1835 ; 7eéd. 1863.
[48] [1802] Traité élémentaire de calcul différentiel et intégral, Paris : Duprat, 1802 ; 2eéd. 1806 ; 3eéd. 1820 ; 5eéd. 1837. Des éditions revues par Hermite et Serret furent publiées à Paris : Mallet Bachelier, 1861-1862, 1867 et 1881.
[49] [1804] Introduction à la géographie mathématique et critique et à la géographie physique, Paris : Dentu, 1804 (premier volume d'une Géograhie moderne dirigée par J.Pinkerton et C.Walkenaer). Elle a été complétée et rééditée en 1811.
[50] [1805] Essais sur l'enseignement en général et sur celui des mathématiques en particulier, Paris : Courcier, 1805 ; rééd. en 1816, 1828, 1838 et 1857.
[51] [1811] Note sur son huitième volume du Cours complet, Moniteur universel, 1811, p.1292.
[52] [1816] Traité élémentaire du calcul des probabilités, Paris : Vve Courcier, 1816 ; 2eéd. 1822 ; 3eéd.1833 ; 4eéd. 1864.
[53] [1826] Manuel d'arpentage ou instruction élémentaire sur cet art et sur celui de lever les plans, Paris : Roret, 1826 ; 2eéd. 1827 ; 5eéd. 1834 ; rééd. 1852.
[54] [1828] Introduction à la connaissance de la sphère, Paris : H.Bossange, 1828.
[55] [Œuvres] Œuvres complètes, éd. par J.A.Serret et G.Darboux, 14 vol., Paris : Gauthiers-Villars, 1867-1892.
[56] [1773] ‘Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires', dans [Œuvres, III, p.661-692].
[57] [1987] Les manuels de Bézout, Rivista di storia della scienza, 4 (1987), p.339-375.
[58] [1988] La mutation de l'enseignement scientifique en France (1750-1810) et le rôle des écoles centrales : l'exemple de Nantes, Sciences et techniques en perspective, 15 (1988).
[59] [1989] Deux manuels mathématiques rivaux : le Bézout et le Lacroix. Ancien contre nouveau régime en calcul infinitésimal, Wissenschaftliche Zeitschrift der Wilhelm-Pieck-Universität Rostock, G-Reihe 37 (1988), p.16-25.
[60] [1990] Des différents rôles de l'écriture dans un manuel mathématique : l'exemple de Bézout, Sciences et techniques en perspective, 18 (1990), p.31-40.
[61] [1993] Trois traités français de géométrie à l'orée du dix-neuvième siècle : Legendre, Peyrard et Lacroix, Physis, 30 (1993), p.243-302. | MR | Zbl
[62] [1998] Les traités de calcul du Marquis de l'Hôpital et de Sylvestre François Lacroix
[63] [2003a] La grammaire comme preuve de l'algèbre : la langue des calculs de Condillac, dans Maison des Sciences de l'homme Ange-Guépin, éd., La Preuve. Séminaire Le lien Social, org. par le Centre François Viète (Nantes, 13-14 mai 2002), Nantes 2003, p.75-89.
[64] [2003b] Quelques éléments sur la conception des objets et des méthodes mathématiques dans les textes philosophiques de d'Alembert, Cahiers François Viète, 6 (2003), p.1-36.
[65] [à paraître] ‘L'influence des cours au-delà de l'an III : L'exemple des cours de mathématiques', dans Julia (Dominique), éd., Volume introductif de la réédition des cours de l'École normale de l'an III, Paris : Presses de l'École normale supérieure, à paraître.
[66] [1680] Traité de la grandeur en général qui comprend l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse et les principes de toutes les sciences qui ont la grandeur pour objet, Paris 1680 ; 2eéd. revue et augmentée, Paris : Pralard, 1689.
[67] [1798] Essai sur la théorie des nombres, Paris : Duprat, 1798.
[68] [1982] L'empirisme génétique de Condillac, Sciences et techniques en perspective, 2 (1982), p.185-196.
[69] [1770] Leçons élémentaires de mathématiques par l'abbé de La Caille ; nouvelle édition augmentée par M.l'abbé Marie, Paris : Desaint, 1770 ; rééd. 1778.
[70] [1795] Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie à l'usage de l'École Polytechnique, Paris, 1795.
[71] [1999 ] Vocabulaire technique et analytique de l'épistémologie, Paris : PUF, 1999.
[72] [1948] Une lettre inédite de Monge sur la situation en France après la fuite du Roi, Revue d'histoire des sciences, 1 (1948), p.358-359.
[73] [1951] L'œuvre scientifique de Monge, Paris : PUF, 1951.
[74] [1953a] Laplace et S.F. Lacroix, Revue d'histoire des sciences, 6 (1953), p.350-360.
[75] [1953b] ‘S.F. Lacroix, mathématicien, professeur et historien des sciences', dans Actes du VIIe congrès international d'histoire des sciences, Jérusalem, 1953, p.588-593
[76] [1954a] ‘Une correspondance inédite de S.F. Lacroix-Quetelet', dans Actes du congrès 1953 de l'Association française pour l'avancement des sciences, Luxembourg, 1954, p.350-360.
[77] [1954b] Une lettre inédite de Dirichlet, Revue d'histoire des sciences, 7 (1954), p.172-175.
[78] [1959] Condorcet et S.F. Lacroix, Revue d'histoire des sciences, 12 (1959), p.127-158 et p.243-262. | Zbl
[79] [1961] Une lettre inédite d'Humboldt au mathématicien S.F. Lacroix, Revue d'histoire des sciences, 14 (1961), p.329-330.
[80] [2000] Condillac, Encyclopædia Universalis, t.6, Paris, 2000, p.329-330.
[81] [1994] Traduction et commentaires des Éléments d'Euclide, vol.2, Livres V à IX, Paris : PUF, 1994. | MR
[82] * Annales historiques de la révolution française, 243 (1981), numéro consacré aux problèmes de l'enseignement de l'Ancien régime à l'Empire.
[83] [1989] Jean d'Alembert, savant et philosophe, portrait à plusieurs voix, Paris : Éditions des Archives Contemporaines, 1989.
[84] * Dix-Huitième siècle, 16 (1984), numéro consacré à d'Alembert.
