L'autre axiome du choix

Ageron, Pierre

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 8 (2002) no. 1, pp. 113-140.

L'« axiome du choix simple » est le principe selon lequel on peut choisir un élément dans tout ensemble non vide. Cet « autre axiome du choix » a une histoire paradoxale et riche, dont la première partie de cet article recherche les traces et repère les enjeux. Apparaissent comme décisifs le statut de la théorie des ensembles dans les mathématiques intuitionnistes, mais aussi la tension croissante entre technicisation de la logique et réflexion épistémologique des mathématiciens. La deuxième partie procède à un examen détaillé des positions prises dans ce débat par deux mathématiciens considérables qui ne craignaient pas la métaphysique : Arnaud Denjoy et Paul Lévy.

The “axiom of simple choice” is the principle according to which one can choose an element from any non-empty set. The first part of this paper attempts to trace the rich and paradoxical history of simple choice. In this story, the most decisive issues appear to be the status of set theory within intuitionistic mathematics and the increasing tension between the technical work of logicians and the epistemological thought of mathematicians. The paper's second part analyzes the attitudes taken in this debate by two prominent French mathematicians who did not fear metaphysics, Arnaud Denjoy and Paul Lévy.

Mots clés : axiome du choix, intuitionnisme, principe du tiers exclu, topos, Arnaud Denjoy, Paul Lévy

[1] Aczel (Peter) [1978] The type theoretic interpretation of constructive set theory, dans Macintyre (A.), Pacholski (L.), Paris (J.), éd., Logic Colloquium 1977, Amsterdam : North Holland, 1978, p.56-66. | MR | Zbl

[2] Ageron (Pierre) [2000] Logiques, ensembles, catégories. Le point de vue constructif, Paris : Ellipses, 2000.

[3] Atiyah (Michael) et al. [1994] Responses to : A. Jaffe and F. Quinn, “Theoretical mathematics : toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics” [Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 1-13], Bulletin of the American Mathematical Society, 30 (1994), p.178-207. | MR | Zbl

[4] Badiou (Alain) [1995] Platon et/ou Aristote-Leibniz. Théorie des ensembles et théorie des topos sous l'œil du philosophe, dans Panza (M.) et Salanskis (J.-M.), éd., L'objectivité mathématique, Paris : Masson, 1995.

[5] Bettazi (Rodolfo) [1896] Gruppi finiti ed infiniti di enti, Atti della Reale Academia delle scienze di Torino, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 31 (1896), p.506-512. | JFM

[6] Bishop (Errett) [1967] Foundations of Constructive Analysis, New-York : McGraw-Hill, 1967. | MR

[7] Borel (Émile) [1905a] Quelques remarques sur les principes de la théorie des ensembles, Mathematische Annalen, 60 (1905), p.194-195. | JFM

[8] Borel (Émile) [1905b] Cinq lettres sur la théorie des ensembles, Bulletin de la Société mathématique de France, 33 (1905), p.261-273 ; reproduites dans [Borel 1907] et citées ici d'après [Rivenc et Rouilhan 1992, p.289-307]. | JFM | Numdam

[9] Borel (Émile) [1907] Leçons sur la théorie des fonctions, 2e éd., Paris : Gauthier-Villars, 1907. | Zbl

[10] Borel (Émile) [1928] Leçons sur la théorie des fonctions, 3e éd., Paris : Gauthier-Villars, 1928. | Zbl

[11] Bourbaki (Nicolas) [1954] Théorie des ensembles, Paris : Hermann, 1954. | MR

[12] Brouwer (Luitzen Egbertus Jan) [1908] De onbetrouwbaarheid der logische principes, Tijdschrift voor wijsbegeerte, 2 (1908), p.152-158 ; trad. fr. ‘Qu'on ne peut pas se fier aux principes logiques' dans Largeault (J.), Intuitionisme et théorie de la démonstration, Paris : Vrin, 1992.

[13] Brouwer (Luitzen Egbertus Jan) [1924] Beweis, daß jede volle Funktion gleichmässig stetig ist, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Amsterdam, Proc. Sect. Sci. 27 (1924), p.189-193. | JFM

[14] Cassinet (Jean) & Guillemot (Michel) [1983] L'axiome du choix dans les mathématiques de Cauchy (1821) à Gödel (1940), thèse d'État, 2 vol., Université Toulouse 3, 1983. | Zbl

[15] Choquet (Gustave) [1975] Avant-propos de ‘Arnaud Denjoy, évocation de l'homme et de l'œuvre', Astérisque 28/29 (1975), p.3-8. | Numdam | MR | Zbl

[16] Cohen (Paul J.) [1964] The independence of the continuum hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences (USA), 50 (1963), p.1143-1148 ; 51 (1964), p.105-110. | MR | Zbl

[17] Denjoy (Arnaud) [1937] La part de l'empirisme dans la logique mathématique, dans Travaux du IXe Congrès international de philosophie - Logique et mathématique, Paris : Hermann, 1937, p.111-120. | JFM

[18] Denjoy (Arnaud) [1941] Sur les nombres transfinis, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences de Paris, 213 (1941), p.432. | MR | Zbl

[19] Denjoy (Arnaud) [1947] L'ordination des ensembles, C. R. Acad. sci. Paris, 224 (1947), p.1081-1083. | MR | Zbl

[20] Denjoy (Arnaud) [1948] L'innéité du transfini, dans Le Lionnais (F.), Les grands courants de la pensée mathématique (1948), $2$e éd., Paris : A. Blanchard, 1962, p.188-195.

[21] Denjoy (Arnaud) [1951] Rapport général sur les travaux du Colloque de philosophie mathématique, dans XVe Congrès international de philosophie des sciences, Paris, 1949 - Philosophie mathématique, Paris : Hermann 1951, p.3-18. Reproduit sous le titre « Bourbaki et les mathématiques du jour » dans [Denjoy 1964], p.229-248.

[22] Denjoy (Arnaud) [1954] L'énumération transfinie, Paris : Gauthiers-Villars, 1954. | Zbl

[23] Denjoy (Arnaud) [1964] Hommes, formes et le nombre, Paris : Albert Blanchard, 1964.

[24] Denjoy (Arnaud) [1975] Le mécanisme des opérations mentales chez les mathématiciens, conférence donnée à Bucarest en 1947, dans ‘Arnaud Denjoy, évocation de l'homme et de l'œuvre', Astérisque 28/29 (1975), p.43-54.

[25] Diaconescu (Radu) [1975] Axiom of choice and complementation, Proceedings of the American Mathematical Society, 51 (1975), p.176-178. | MR | Zbl

[26] Dieudonné (Jean) [1982] Mathématiques vides et mathématiques significatives, dans Penser les mathématiques, Paris : le Seuil, 1982. | MR | Zbl

[27] Doob (Joseph Leo) [1972] Obituary : Paul Lévy, Journal of Applied Probability, 9 (1972), p.871-872. | MR | Zbl

[28] Dubreil (Paul) [1950] Algèbre. Tome I. Équivalences, opérations, groupes, anneaux, corps, Paris : Gauthier-Villars, 1950. | MR | Zbl

[29] Fraenkel (Abraham) [1921] Ueber die Zermelosche Begründung der Mengenlehre, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 30 (1921), p.97-98. | JFM

[30] Fraenkel (Abraham) [1922a] Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, Mathematische Annalen, 86 (1922), p.230-237. | JFM | MR

[31] Fraenkel (Abraham) [1922b] Der Begriff ‘definit' und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms, Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (1922), p.253-257. | JFM

[32] Fraenkel (Abraham) [1953] Abstract Set Theory, Amsterdam : North Holland, 1953. | MR | Zbl

[33] Fraenkel (Abraham) [1958] Introduction historique de P. Bernays, Axiomatic Set Theory, Amsterdam : North Holland, 1958. | MR | Zbl

[34] Fraenkel (Abraham) [1973] (avec Y.Bar-Hillel et A.Levy) Foundations of Set Theory, 2nd éd., Amsterdam : North Holland, 1973. | MR | Zbl

[35] Freyd (Peter) [1972] Aspects of topoi, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 7 (1972), p.1-72. | MR | Zbl

[36] Girard (Jean-Yves) [1970] Une extension de l'interprétation de Gödel à l'analyse, et son application à l'élimination des coupures dans l'analyse et la théorie des types, dans Proceedings of the 2nd Scandinavian Logic Symposium, Amsterdam : North-Holland, 1970, p.63-92. | MR | Zbl

[37] Gispert (Hélène) [1995] La théorie des ensembles en France avant la crise de 1905 : Baire, Borel, Lebesgue... et tous les autres, Revue d'histoire des mathématiques, 1 (1995), p.39-81. | Numdam | MR | Zbl

[38] Gödel (Kurt) [1938] The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis, Proceedings Nat. Acad. Sci. (USA), 24 (1938), p.556-557. | Zbl

[39] Goodman (Nicolas D.) & Myhill (John) [1972] The formalization of Bishop's constructive mathematics, dans Toposes, Algebraic Geometry and Logic, Springer, 1972, p.83-96. | MR | Zbl

[40] Goodman (Nicolas D.) & Myhill (John) [1978] Choice implies excluded middle, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 24 (1978), p.461. | MR | Zbl

[41] Griffiths (H. Brian) & Hilton (Peter J.) [1970] A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics. A Contemporary Interpretation, Van Nostrand Reinhold, 1970 ; rééd. Springer, 1979. | MR | Zbl

[42] Hartogs (Friedrich) [1915] Ueber das Problem der Wohlordnung, Math. Ann., 76 (1915), p.436-443. | JFM | MR

[43] Heyting (Arend) [1930] Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften (1930), p.42-56. | JFM

[44] Hilbert (David) [1923] Die logischen Grundlagen der Mathematik, Math. Ann., 88 (1923), p.151-165. | JFM | MR

[45] Hintikka (Jaako) [1999] The axiom of choice is not a set-theoretical principle, Dialectica, 53 (1999), p.283-290. | MR

[46] Howard (Paul) & Rubin (Jean E.) [1998] Consequences of the axiom of choice, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, R.I. : American Math. Society, 1998. | MR | Zbl

[47] Kamke (Erich) [1964] Théorie des ensembles, trad. par A.M. v.d. Lahr-Degout, Paris : Dunod, 1964 ; réimpr. Paris : J.Gabay, 1993. | MR

[48] Largeault (Jean) [1993] Intuition et intuitionisme, Paris : Vrin, 1993. | MR | Zbl

[49] Lawvere (F. William) [1971] Quantifiers as sheaves, dans Actes du Congrès international des mathématiciens tenu à Nice en 1970, Paris : Gauthier-Villars, 1971, p.329-334. | MR | Zbl

[50] Lawvere (F. William) [2000] Comments on the development of topos theory, dans Pier (J.-P.), éd., Development of Mathematics 1950-2000, Birkhäuser, 2000, p.715-734. | MR | Zbl

[51] Lebesgue (Henri) [1905] Lettre à Emile Borel, éd. dans [Borel 1905 b], p.298-303.

[52] Lévy (Paul) [1926a] Sur le principe du tiers exclu et les théorèmes non susceptibles de démonstration, Revue de métaphysique et de morale, 33 (1926), p.235-258. | JFM

[53] Lévy (Paul) [1926b] Critique de la logique empirique. Réponse à M. Rolin Wavre, Revue de métaphysique et de morale, 33 (1926), p.545-551. | JFM

[54] Lévy (Paul) [1927] Logique classique, logique brouwérienne et logique mixte, Bulletin de l'Académie royale de Belgique, 13 (1927), p.256-266. | JFM

[55] Lévy (Paul) [1936] Les paradoxes de la théorie des ensembles infinis, Recherches philosophiques, 6 (1936-1937), p.204-219.

[56] Lévy (Paul) [1950] Axiome de Zermelo et nombres transfinis, Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 67 (1950), p.15-49. | Numdam | MR | Zbl

[57] Lévy (Paul) [1964] Remarques sur un théorème de Paul Cohen, Revue de métaphysique et de morale (1964), p.88-94.

[58] Lévy (Paul) [1967] L'axiomatique et le problème du continu, Revue de métaphysique et de morale (1967), p.287-294.

[59] Lévy (Paul) [1968] Observations sur la lettre de M. Dieudonné, Revue de métaphysique et de morale (1968), p.250-251.

[60] Lévy (Paul) [1970] Quelques aspects de la pensée d'un mathématicien, Paris : Albert Blanchard, 1970.

[61] Loève (Michel) [1973] Paul Lévy, 1886-1971, Annals of Probability, 1 (1973), p.1-18. | MR | Zbl

[62] Mac Lane (Saunders) & Moerdijk (Ieke) [1992] Sheaves in Geometry and Logic : a First Introduction to Topos Theory, New-York : Springer, 1992. | MR | Zbl

[63] Martin-Loef (Per) [1974] An intuitionistic theory of types : predicative part, dans Logic Colloquium 1973, Amsterdam : North Holland, 1974, p.73-118. | MR | Zbl

[64] Mclarty (Colin) [1990] The uses and abuses of the history of topos theory, British Journal of Philosophy and Science, 41 (1990), p.351-375. | MR | Zbl

[65] Moore (Gregory H.) [1982] Zermelo's Axiom of Choice : its Origins, Development and Influence, New-York : Springer, 1982. | MR | Zbl

[66] Myhill (John) [1975] Constructive set theory, Journal of Symbolic Logic, 40 (1975), p.347-382. | MR | Zbl

[67] Patras (Frédéric) [2001] La pensée mathématique contemporaine, Paris : PUF, 2001.

[68] Poincaré (Henri) [1913] Dernières pensées, Paris : Flammarion, 1913.

[69] Retoré (Christian) [1992] Introduction à [Borel 1905 a] et [Borel 1905 b] dans [Rivenc et de Rouilhan 1992], p.287-294.

[70] Rivenc (François) & Rouilhan (Philippe De) [1992] Logique et fondements des mathématiques. Anthologie (1850-1914), Paris : Payot, 1992.

[71] Rosset (Clément) [1997] Le démon de la tautologie, Paris : Les Éditions de Minuit, 1997.

[72] Schwartz (Laurent) [1997] Un mathématicien aux prises avec le siècle, Paris : Odile Jacob, 1997. | Zbl

[73] Skolem (Thoralf) [1923] Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, dans Wissenschaftliche Vorträge gehalten auf dem fünften Kongress der Skandinavischen Mathematiker in Helsingfors 1922, Helsinky 1923, p.217-232 ; traduction anglaise dans Van Heijenoort (Jean), éd., From Frege to Gödel, Cambridge : Harvard University Press, 1967, p.290-301. | JFM

[74] Su (Francis Edward) [1997] Borsuk-Ulam implies Brouwer : a direct construction, American Mathematical Monthly, 104 (1997), p.855-859. | MR | Zbl

[75] Van Dalen (Dirk) [1999] Mystic, Geometer and Intuitionist. The Life of L.E.J.Brouwer, Oxford : Clarendon Press, 1999. | MR | Zbl

[76] Weyl (Hermann) [1910] Ueber die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe, Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter, 7 (1910), p.93-95, 109-113. | JFM

[77] Zermelo (Ernst) [1904] Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann., 59 (1904), p.514-516. | JFM | MR

[78] Zermelo (Ernst) [1908a] Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung, Math. Ann., 65 (1908), p.107-128. | JFM

[79] Zermelo (Ernst) [1908b] Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Math. Ann., 65 (1908), p.261-281. | JFM | MR