La première méthode générale de factorisation des polynômes. Autour d'un mémoire de F.T. Schubert
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 7 (2001) no. 1, pp. 67-89.

Nous présentons deux ouvrages peu connus de N.Bernoulli (1708) et de F.T.Schubert (1794) sur la factorisation des polynômes à coefficients entiers ainsi que les recherches de L.Kronecker et B.A.Hausmann sur le même sujet. La méthode de factorisation de Bernoulli-Schubert utilise le calcul des différences finies et l'interpolation par différences finies. Elle a été redécouverte par Kronecker (1882), qui a utilisé l'interpolation de Lagrange. Les deux procédés permettent de factoriser des polynômes dont les degrés et les coefficients sont petits. Un algorithme qui combine les résultats de Bernoulli-Schubert et Kronecker a été obtenu par B.A.Hausmann. Sa méthode est plus efficace pour des polynômes stables. Ces trois méthodes sont brièvement comparées avec les algorithmes modernes de factorisation.

We analyse two little known papers of N.Bernoulli (1708) and F.T.Schubert (1794) on the factorization of integer polynomials as well as the work of L.Kronecker and B.A.Hausmann on the same topic. The factorization method of Bernoulli-Schubert uses the calculus and the interpolation of finite differences. It was rediscovered by Kronecker (1882), who used Lagrange interpolation. Both procedures allow the effective factorization of polynomials having small degrees and coefficients. An algorithm combining the results of Bernoulli-Schubert and Kronecker was obtained by B.A.Hausmann. His method is particularly useful for the factorization of stable polynomials. The three methods are briefly compared with modern factorization algorithms.

Mots-clés : factorisation des polynômes, i. Newton, g.w. Leibniz, n. Bernoulli (I), f.t. Schubert, l. Kronecker 
@article{RHM_2001__7_1_67_0,
     author = {Mignotte, Maurice and \c{S}tef\u{a}nescu, Doru},
     title = {La premi\`ere m\'ethode g\'en\'erale de factorisation des polyn\^omes. {Autour} d'un m\'emoire de {F.T.} {Schubert}},
     journal = {Revue d'histoire des math\'ematiques},
     pages = {67--89},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {7},
     number = {1},
     year = {2001},
     zbl = {1030.01017},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/RHM_2001__7_1_67_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Mignotte, Maurice
AU  - Ştefănescu, Doru
TI  - La première méthode générale de factorisation des polynômes. Autour d'un mémoire de F.T. Schubert
JO  - Revue d'histoire des mathématiques
PY  - 2001
SP  - 67
EP  - 89
VL  - 7
IS  - 1
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/item/RHM_2001__7_1_67_0/
LA  - fr
ID  - RHM_2001__7_1_67_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Mignotte, Maurice
%A Ştefănescu, Doru
%T La première méthode générale de factorisation des polynômes. Autour d'un mémoire de F.T. Schubert
%J Revue d'histoire des mathématiques
%D 2001
%P 67-89
%V 7
%N 1
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/item/RHM_2001__7_1_67_0/
%G fr
%F RHM_2001__7_1_67_0
Mignotte, Maurice; Ştefănescu, Doru. La première méthode générale de factorisation des polynômes. Autour d'un mémoire de F.T. Schubert. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 7 (2001) no. 1, pp. 67-89. http://www.numdam.org/item/RHM_2001__7_1_67_0/

[1] Berlekamp (Elwyn) [1967] Factoring polynomials over finite fields, Bell Systems Technology Journal, 46 (1967), p.1853-1859. | MR | Zbl

[2] Bernoulli (Jean I) [1745] Virorum Celeberr. Got. Gul. Leibnitii et Johan. Bernoulli Commercium philosophicum et mathematicum, 2 vol., Lausanne & Genève : Bousquet, 1745.

[3] Bernoulli (Nicolas I) [1708] Regula generalis inveniendi aequationes, per quas alia quaepiam data, modo reducibilis sit, dividi potest, dans [Leibniz, Math. Schriften, III, p.827-835].

[4] Cantor (Moritz) [1908] Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd.IV, Leipzig : Teubner, 1908.

[5] Cauchy (Augustin-Louis) [1829] Exercices de mathématiques, 4eannée, Paris : De Bure Frères, 1829.

[6] Encyclopédie Brockhaus-Efron Entziklopedicheskii Slovar Brockhaus i Efron, 86 vols, Saint-Pétersbourg, 1890-1907.

[7] Hausmann (Bernard A.) [1937] A new simplification of Kronecker's method of factorization of polynomials, American Mathematical Monthly, 44 (1937), p.574-576. | JFM | MR

[8] Hensel (Kurt) [1918] Eine neue Theorie der algebraischen Zahlen, Mathematische Zeitschrift, 2 (1918), p.433-452. | JFM | MR

[9] Knuth (Donald) [1969] The Art of Computer Programming, vol.2 : Seminumerical Algorithms, Reading Ma. : Addison-Wesley, 1969. | MR | Zbl

[10] Kronecker (Leopold) [ms 1880]Theorie der algebraischen Gleichungen, Wintersemester 1880/1881 (manuscrit L 2262, Bibliothèque UFR Mathématiques & Informatique, Strasbourg).

[11] Kronecker (Leopold) [1882] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Journal für reine und angewandte Mathematik, 92 (1882), p.1-122. | JFM

[12] Kronecker (Leopold) [1897] Leopold Kronecker's Werke, Bd.II, p.237-387, Leipzig : B.G.Teubner, 1897. | Zbl

[13] Kronecker (Leopold) [1901] Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, Leipzig : B.G.Teubner, 1901.

[14] Leibniz (Gottfried Wilhelm) [Math. Schriften] Leibnizens mathematische Schriften, hrsg. von C.I.Gerhardt, Halle 1850-1863.

[15] Lenstra (Arjen), Lenstra (Hendrik), Lovasz (Làszlò) [1982] Factoring polynomials with rational coefficients, Mathematische Annalen, 261 (1982), p.515-534. | MR | Zbl

[16] Mcnamee (John Michael) [1993] A bibliography on roots of polynomials, Journal of Computational and Applied Mathematics, 47 (1993), p.391-392 (+ disquette), voir également http ://www.elsevier.com/homepage/sac/cam/mcnamee/index.html. | MR | Zbl

[17] Mignotte (Maurice) [1974] An inequality about factors of polynomials, Mathematics of Computation, 28 (1974), p.1153-1157. | MR | Zbl

[18] Molk (Jules), éd. [1907] Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, t.1, Paris : Gauthier-Villars, 1907. Réimpression Paris : J.Gabay, 1992. | JFM | Zbl

[19] Newton (Isaac) [1707] Arithmetica universalis, Cambridge, 1707.

[20] Newton (Isaac) [1710] Universal Arithmetick, London, 1710. Reprinted in Mathematical Works, vol.2, Johnson Reprint Corp., 1967. | MR

[21] Newton (Isaac) [1761] Arithmetica universalis, Amsterdam, 1761.

[22] Newton (Isaac) [1802] Arithmétique universelle de Newton, trad. Noël Beaudeux, Paris : Bernard, An X, 1802.

[23] Newton (Isaac) [Math.Papers] The Mathematical Papers of Isaac Newton, éd. D.T.Whiteside, vol.5, Cambridge : Cambridge University Press, 1972. | MR | Zbl

[24] Poggendorff (Johann Christian), éd. [1863] Biographisch-literarisches Handwörterbuch zur Geschichte der exacten Wissenschaften, Leipzig, 1863.

[25] Runge (Carl) [1886] Ueber die Zerlegung ganzer ganzzahliger Functionen in irreductible Factoren, J. reine angew. Math., 99 (1886), p.89-97. | JFM

[26] Schubert (Friedrich Theodor) [1798] De Inventione Divisorum, Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae, 11 (1793), p. 172-182, Saint-Pétersbourg, 1798.

[27] Schubert (Friedrich Theodor) [1810] Demonstratio theorematis algebraici, Mémoires de l'Académie impériale des sciences de Saint Pétersbourg , s. 5, 2 (1810), p.124-129.

[28] Van Der Waerden (Bartel) [1937] Moderne Algebra I, Berlin : Springer Verlag, 1937.

[29] Zassenhaus (Hans) [1969] On Hensel factorization, Journal of Number Theory, 1 (1969), p.291-311 . | MR | Zbl