Peut-on tout de même parler d'un ‘triangle de Pascal' ?

Kyriacopoulos, Laurent

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 6 (2000) no. 2, pp. 167-217.

Lorsque vers 1654 Pascal considère le triangle arithmétique, il ne se contente pas de dresser l'inventaire d'applications déjà anciennes, ni d'étendre son usage aux jeux de hasard. Son recueil de traités est aussi le lieu où se confrontent deux manières successives de résoudre les mêmes problèmes : soit par lecture du triangle, soit par des calculs dont le triangle est exclu.Or, du point de vue de la preuve, le recueil donne à voir ces solutions sans triangle comme un second mouvement, une conclusion. Car elles sont toujours démontrées à partir du triangle : de ses lectures et de ses propriétés.C'est que Pascal n'a pas vraiment délaissé l'objet portant parfois son nom. Des premières aux secondes résolutions, le triangle n'a pas disparu, il s'est seulement déplacé. D'abord moyen de résolution, il est devenu outil de preuve, élément d'une démarche singulière pour démontrer des égalités (on parlera ici d'une procédure de démonstration). Or, pour sa nouvelle fonction, il change de nature. Pourrait-on à cet égard parler enfin, avec justesse, d'un ‘triangle de Pascal' ?

Around 1654, when Pascal considered the arithmetical triangle, he neither contented himself with taking stock of well-tried applications nor with extending their use to games of chance. In his collection of treatises two successive ways of solving the same set of problems are being confronted : either reading the triangle or calculations which do not take the triangle into account.Yet, as regards proofs, the solutions without the triangle are presented as a second movement, a conclusion. These solutions however are provided on the basis of the triangle, i.e. by its readings or its properties.Indeed, Pascal never really neglected the object which later bore his name. Between the first and the second resolutions, the triangle has not disappeared; it had only been displaced. From a means of resolution it had become a way to demonstrate, an element within a particular procedure to establish equalities (we shall call this a procedure of demonstration). Yet, this new purpose changes the very nature of the triangle. In this respect, can one eventually and rightly speak of Pascal's triangle?

[1] About (Pierre-José) & Boy (Michel) [1983] La correspondance de Blaise Pascal et de Pierre de Fermat. La géométrie du hasard ou le début du calcul des probabilités, Les cahiers de Fontenay 32, sept. 1983, 92 p.

[2] Cardan (Jérôme) [1570] Opus novum de proportionibus numerorum, Bâle, 1570 ; Opera omnia, Lyon, 1663, t.4, p.556-558.

[3] Chemla (Karine) & Pahaut (Serge) [1992] Remarques sur les ouvrages de Gersonide, dans Freudenthal (G.), éd., Studies on Gersonides, Leiden : Brill, 1992, p.149-191.

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[12] Pascal (Blaise) [Œuvres 1908] Œuvres complètes, éditées par Léon Brunschvicg et Pierre Boutroux, Paris : 1908.

[13] Pascal (Blaise) [Œuvres 1963] Œuvres complètes, éditées par Louis Lafuma, Paris : Éditions du Seuil, 1963.

[14] Pascal (Blaise) [Œuvres 1964] Œuvres complètes, éditées par Jean Mesnard, 4 tomes, Paris : Desclée de Brouwer, 1964.

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[17] Rashed (Roshdi) [1978] L’extraction de la racine $n$-ième et l’invention des fractions décimales (XIe-XIIe siècles), Archive for History of Exact Sciences, 18 (1978), p.191-243 ; repris dans [Rashed 1984], p.93-145. Les références à l'article renvoient à ce volume. | MR | Zbl

[18] Rashed (Roshdi) [1984] Entre arithmétique et algèbre. Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, Paris : Les Belles Lettres, 1984. | MR | Zbl

[19] Rashed (Roshdi) [1998] Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres, dans [Rashed 1998], p.55-91.

[20] Rashed (Roshdi), éd. [1998] Histoire des sciences arabes, 3 tomes, Paris : Seuil, 1998.

[21] Raymond (Pierre) [1975] De la combinatoire aux probabilités, Paris : Maspéro, 1975. | MR | Zbl

[22] Ritter (James) [1989] Égypte et Mésopotamie : à chacun sa vérité, dans Serres (Michel), éd., Éléments d'histoire des sciences, Paris : Bordas, 1989, p.39-61. | MR

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[26] Vacca (G.) [1909] Maurolycus, the first discoverer of the principle of mathematical induction, Bulletin of the American Mathematical Society, XVI (1909), p.70-73. | JFM | MR