En 1770, Lagrange démontre la formule qui porte son nom et qui donne, sous forme de série, l'expression de la racine d'une équation algébrique ou transcendante. La formule elle-même et la méthode de démonstration sont significatives du style et de la pensée de l'auteur de la Théorie des fonctions analytiques. De nombreuses études sont consacrées ensuite à ce théorème de Lagrange par d'autres mathématiciens. Elles portent la trace de préoccupations ou d'exigences particulières à leurs auteurs. Elles accompagnent parfois des tentatives théoriques plus ambitieuses. Laplace étudie la convergence des séries que le théorème de Lagrange permet d'obtenir pour la résolution du problème de Kepler. Mais ces travaux restent d'abord tributaires des mêmes conceptions, selon lesquelles les fonctions sont identifiées à des développements en séries formelles. Cauchy remet en cause ce point de vue, et c'est un bouleversement profond qui intervient en 1831 lorsqu'il reprend le problème avec les moyens dont il dispose dans le cadre des fonctions de variable imaginaire.
In 1770, Lagrange proved the formula bearing his name which expresses the root of an algebraic or transcendental equation as a series. The formula in itself, as well as the method of proof, are representative of the style and thought of the author of the Théorie des fonctions analytiques. Afterwards several studies were devoted to Lagrange's theorem by other mathematicians. They bore the mark of their authors' particular concerns or demands. Occasionally they conveyed more ambitious theoretical attempts. When solving Kepler's problem, Laplace studied the convergence of the series deduced from Lagrange's theorem. But, at first, these studies depended on the same conceptions, according to which functions were identified with formal series expansions. In 1831 a profound mutation occured when, calling this point of view into question, Cauchy took up the problem and deployed the tools he had at his disposal in the framework of complex functions.
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Lubet, Jean-Pierre. De Lambert à Cauchy : la résolution des équations littérales par le moyen des séries. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 4 (1998) no. 1, pp. 73-129. http://www.numdam.org/item/RHM_1998__4_1_73_0/
[1] [1748] Recherches sur le calcul intégral, Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1746 (1748), p.182-224.
[2] [1754] Recherches sur différents points importants du système du monde, Paris : chez David l'aîné, 1754.
[3] [1765a] Parallélogramme, article de l'Encyclopédie, t.XI, Neufchatel, 1765.
[4] [1765b] Retour des suites, Ibid., t.XVI, Neufchatel, 1765.
[5] [1991] Augustin-Louis Cauchy - a Biography, New York : Springer Verlag, 1991. | MR | Zbl
[6] [1989] Lagrange et le problème de Kepler, Revue d'histoire des sciences, XLII (1989), p.27-44. | MR | Zbl
[7] [1908] Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (vierter Band), Leipzig : Teubner, 1908. | Zbl
[8] [Œuvres] Œuvres complètes, 27 vol. en deux séries, Paris : Gauthier-Villars, 1882-1974. | MR | Zbl
[9] [1821] Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1e partie : Analyse algébrique, Paris : chez Debure frères, 1821 ; Œuvres (II) 3.
[10] [1822] Sur le développement des fonctions en séries, et sur l'intégration des équations différentielles ou aux différences partielles, Bulletin de la Société Philomatique (1822), p.49-54 ; Œuvres (II) 2, p.276-282.
[11] [1823] Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, tome 1er, Paris : chez Debure frères, 1823 ; Œuvres (II) 4.
[12] [1824] Sur la résolution analytique des équations de tous les degrés par le moyen des intégrales définies, Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France, IV (1819-20), p. XXVI- XXIX ; Œuvres (I) 2, p.9-11.
[13] [1826] Application du calcul des résidus à la sommation de plusieurs suites ; Œuvres (II) 6, p.62-73.
[14] [1829a] Mémoire sur divers points d'analyse, Ibid. VIII (1829), p.101-129, (lu le 3 septembre 1827) ; Œuvres (I) 2, p 29-58. | MR
[15] [1829b] Mémoire sur le développement de suivant les puissances de , étant racine de l’équation , Ibid., p.130-138 ; Œuvres (I) 2, p.59-66.
[16] [1835] Mémoire sur l'intégration des équations différentielles, Exercices d'analyse et de physique mathématique I (1840), p.327-384 ; Œuvres (II) 11, p.399-465.
[17] [1837] Ie lettre de M. Cauchy sur la détermination complète de toutes les racines des équations de degré quelconque, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, IV (1er sem. 1837), p.773-783 ; Œuvres (I) 4, p.48-60.
[18] [1839] Mémoire sur l'intégration des équations différentielles des mouvements planétaires, C.R. Acad. sci. Paris, IX (2e sem. 1839), p. 184-190 ; Œuvres (I) 4, p.483-490.
[19] [1841] Résumé d'un mémoire sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites (lu à l'Acad. de Turin le 11 oct 1831) ; Exercices d'analyse et de physique mathématique, II (1841), p.169-183 ; Œuvres (II) 12, p.48-112.
[20] [1844] Sur les séries multiples et sur les séries modulaires, C.R. Acad. sci. Paris, XIX (2e sem. 1844), p.1375-1377 ; Œuvres (II) 8, p.375-378.
[21] [1846] Rapport sur un mémoire qui a été présenté à l'Académie par M.Félix Chio et qui a pour titre : Recherches sur la série de Lagrange, C.R. Acad. sci. Paris, XXIII (2e sem. 1846), p.490-493 ; Œuvres (II) 12, p.110-123
[22] [1852] Rapport sur de nouvelles recherches relatives à la série de Lagrange, et présentées à l'Académie, par M. Félix Chio de Turin, suivi de Notes jointes au rapport et rédigées par le rapporteur, C.R. Acad. sci. Paris, XXXIV (1852), p.304-319 ; Œuvres (I) 11, p.414- 437.
[23] [1857] Théorie nouvelle des résidus, C.R. Acad. sci. Paris, XLIV (1857), p.406-416 ; Œuvres (I) 12, p.433-444.
[24] [1974] Mémoire sur les rapports qui existent entre le calcul des résidus et le calcul des limites et sur les avantages qu'offrent ces deux nouveaux calculs dans la résolution des équations algébriques et transcendantes, texte lithographié présenté à l'Académie de Turin le 27 novembre 1831 ; Œuvres (II) 15, p.182-261.
[25] et al. [1993] Histoire d'algorithmes - du caillou à la puce, Paris : Belin, 1993. | Zbl
[26] [1854] Recherches sur la série de Lagrange, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences de l'Institut impérial de France et imprimés sur son ordre, t.XII (1854), p.340-468.
[27] [1970] Analyse combinatoire, 2 vol., Paris : Presses Universitaires de France, 1970. | MR | Zbl
[28] [1776a] Approximation ; article du Supplément à l'Encyclopédie, t.I, Amsterdam, 1776.
[29] [1776b] Équation, Ibid., t.II, Amsterdam, 1776.
[30] [1777] Séries, Ibid., t.IV, Amsterdam, 1777.
[31] [1784] Équation, article de l'Encyclopédie méthodique ou par ordre de matières - Mathématiques, Paris-Liège, 1784.
[32] [1750] Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève, 1750.
[33] [1986a] Abrégé d'histoire des mathématiques, Paris : Hermann, 1986. | MR | Zbl
[34] [1986b] Calcul infinitésimal, Paris : Hermann, 1986. | MR | Zbl
[35] [1740] Usages de l'analyse de Descartes pour découvrir, sans le secours du calcul différentiel, les propriétés et affections principales des lignes géométriques de tous les ordres, Paris, 1740.
[36] [1744] Recherches du nombre des racines réelles ou imaginaires, réelles positives ou réelles négatives qui peuvent se trouver dans les équations de tous les degrés, Mém. Acad. r. sci. 1741 (1744), p.435-494.
[37] [1990] Genèse de l'algèbre symbolique en Angleterre : une influence possible de John Locke, Rev. hist. sci., XLIII/2-3 (1990), p.129-180. | MR | Zbl
[38] [Opera] Leonardi Euleri Opera omnia, 1e série, 27 vol., Leipzig : Teubner 1911-1956.
[39] [1760] De seriebus divergentibus, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 5 (1754-55), p.205-237 ; Opera (I) 14, p.585-617
[40] [1771] Observationes circa radices aequationum, E.406, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 15 (1770), p.51-77 ; Opera (I) 6 , p.263-286.
[41] [1783] De serie lambertina plurimisque eius insignibus proprietatibus, E.532, Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae II (1779), p.29-51 ; Opera (I) 6, p.350-369.
[42] [1789] Analysis facilis et plana ad eas series maxime abstrusas perducens, quibus omnium aequationum algebraicarum non solum radices ipsae, sed etiam quaevis earum potestates exprimi possunt, E. 631, Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae 4 (1786), p.55-73 ; Opera (I) 6, p.384-424.
[43] [1790] Methodus generalis investigandi radices omnium aequationum per approximationem, E. 64, Ibid. 6 (1788), p.16-24 ; Opera (I) 6, p.425-433.
[44] [1801] Methodus nova ac facilis omnium aequationum algebraicarum radices non solum ipsas sed etiam quascumque earum potestates per series concinnas exprimendi, E. 711, Ibid. 12 (1794), p.71-90 ; Opera (I) 6, p.447-464.
[45] [1813] Mémoire tendant à démontrer la légitimité de la séparation des échelles de différentiation et d'intégration des fonctions qu'elles affectent, Annales de mathématiques pures et appliquées, III (1812-1813), p.244-272.
[46] [1815] Du calcul des dérivations, ramené à ses véritables principes, ou théorie du développement des fonctions, et du retour des suites, Ibid., VI (1815), p.61-111.
[47] [1994] Le calcul des dérivations d'Arbogast dans le projet d'algébrisation de l'analyse à la fin du XVIIIe siècle, Cahiers d'histoire et de philosophie des sciences, nouvelle série, no43, 1994.
[48] [1981] Équations différentielles ordinaires, cours inédit de Augustin-Louis Cauchy (fragment), introduction de Ch.Gilain, Paris : Études vivantes, 1981. | MR | Zbl
[49] et al. [1976] Philosophie et calcul de l'infini, Paris : Maspero, 1976. | MR | Zbl
[50] [1984] Essais d'histoire des mathématiques, réunis et publiés par Roshdi Rashed, Paris : Blanchard, 1984. | MR
[51] [Werke] C.G.J. Jacobi's gesammelte Werke, 8 vol., Berlin : Reimer, 1881-1891 ; rééd. New York : Chelsea, 1969. | JFM
[52] [1830] De resolutione aequationum per series infinitas, Journal für die reine und angewandte Mathematik, VI (1830), p.257-286 ; Werke VI, p.26-61. | Zbl
[53] [1993] Algebraic analysis in Germany, 1780-1840 : some mathematical and philosophical issues, Historia Mathematica, 20 (1993), p.265-284. | MR | Zbl
[54] [1810] Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (2e éd.), t.1, Paris : Courcier, 1810.
[55] [Œuvres] Œuvres de Lagrange, J.-A. Serret et G. Darboux éd., 14 vol., Paris : Gauthier-Villars, 1867-1892.
[56] [1754] Lettera di Luigi De La Grange Tournier Torinese all'illustrissimo Signor Conte Giulio Carlo da Fagnano. etc., Torino : Stamperia reale, 1754 ; Œuvres VII, p.583-588.
[57] [1762] Addition aux nouvelles recherches sur la propagation du son, Mélanges de philosophie et de mathématiques de la Société royale de Turin 1760-61 (1762), p.323-336 ; Œuvres I, p.319-332.
[58] [1769] Sur la résolution des équations numériques, Histoire de l'Académie royale des Sciences et Belles-lettres de Berlin 1767 (1769), p.165-310 ; Œuvres II, p.539-578.
[59] [1770a] Addition au mémoire sur la résolution des équations numériques, Ibid. 1768 (1770), p.111-180 ; Œuvres II, p.581-652.
[60] [1770b] Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries, Ibid., p.251-328 ; Œuvres III, p.5-73.
[61] [1771a] Sur le problème de Kepler, Ibid. 1769 (1771), p.204-233 ; Œuvres III, p.113-138.
[62] [1771b] Sur l'élimination des inconnues dans les équations, Ibid., p.303-318 ; Œuvres III, p.141-154.
[63] [1772] Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Nouveaux Mémoires de l'Académie des Sciences et Belles-lettres de Berlin 1770 (1772), p.134-215 ; Œuvres III, p.205-304.
[64] [1774a] Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l'intégration des quantités variables, Ibid. 1772 (1774), p.185-221 ; Œuvres III, p.441-476.
[65] [1774b] Sur la forme des racines imaginaires, Ibid., p.222-258 ; Œuvres III, p.479-516.
[66] [1788] Mécanique analytique, Paris 1788 ; Œuvres XI et XII (4e éd.).
[67] [1799] Discours sur l'objet de la Théorie des fonctions analytiques, Journal de l'École Polytechnique, 6e cahier, t.II, p.232-235 ; Œuvres VII, p.325-328.
[68] [1813] Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions, et réduits à l'analyse des quantités finies 2e éd., 1813, Paris ; Œuvres IX, p.11-421.
[69] et [1799] Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Bürmann (nivôse an VII), Mémoires de l'Institut national des Sciences et Arts II (fructidor an VII), Paris, p.13-17.
[70] [Opera] Johannis Henrici Lamberti Opera Mathematica, éd. Andreas Speiser, 2 vol., Zürich : Orell Füssli Verlag, 1946-1948.
[71] [1758] Observationes variae in mathesin puram, Acta helvetica, 3 (1758), p.128-168 ; Opera I, p.16-51.
[72] [1772] Observations analytiques, Nouveaux mémoires de l'Académie de Berlin 1770 (1772), p.225-244 ; Opera II, p.270-290.
[73] [Œuvres] Œuvres complètes de Laplace, 14 vol., Paris : Gauthier-Villars, 1878-1912. | JFM
[74] [1780] Mémoire sur l'usage du calcul aux différences partielles dans la théorie des suites, Mém. Acad. sci. 1777 (1780), p.99-122 ; Œuvres IX, p.313-335.
[75] [1799] Traité de mécanique céleste, t.I, 1e éd., Paris : chez Duprat 1799 ; Œuvres I.
[76] [1820] Théorie analytique des probabilités, livre II, 3e éd. ; Œuvres VII, p.196-505.
[77] [1827] Mémoire sur le développement de l'anomalie vraie et du rayon vecteur elliptique en séries ordonnées suivant les puissances de l'excentricité, Mém. Acad. sci., VI (1823), p.61-80 ; Œuvres XII, p.549-566.
[78] [1772] Demonstratio theorematis analytici a celeb. Lagrange inventi, Novi Commentarii Academicae Scientiarum Petropolitanae, XVI (1771), p.230-254.
[79] [Works] The mathematical papers of Isaac Newton, 7 vol., éd. D.T.Whiteside, Cambridge : University Press, 1967-1976. | MR | Zbl
[80] [Correspondence] The correspondence of Isaac Newton, 4 vol., éd. H.W.Turnbull (I,II,III) et J.F.Scott (IV), Cambridge : University Press, 1967-1976. | MR | Zbl
[81] et al. [1979] Colloque international et interdisciplinaire Jean-Henri Lambert (Mulhouse, 26-30 septembre 1977), Paris : éditions Ophrys, 1979.
[82] [1993] Cauchy et le calcul symbolique, Sciences et techniques en perspective, 26 (1993), p.148-152. | MR
[83] [1794a] Analysis einer wichtigen Aufgabe des Herrn de la Grange, Archiv der reinen und angewandten Mathematik, I (1794), p.81-84.
[84] [1794b] Ableitung der Lokalformel für die Reversion der Reihen, aus dem Satze des Herrn de la Grange, Ibid., p.85-87.
[85] [1826] Analyse du traité de la résolution des équations numériques, reproduit (d'après un article de 1808 paru dans le Magasin encyclopédique) dans la troisème édition du Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés par Lagrange, Paris : chez Courcier, 1826.
[86] [1795] Lokal- und kombinatorisch analytische Formeln für höhere Differenziale, Archiv reinen ang. Math., II (1795), p.431-449.
[87] [1866] Cours d'algèbre supérieure, 3e éd., Paris : Bachelier, 1866.
[88] [1814a] Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul différentiel, Annales de mathématiques pures et appliquées, V (1814), p.93-140.
[89] [1814b] Réflexions sur les divers systèmes d'exposition des principes du calcul différentiel et, en particulier, sur la doctrine des infiniment petits, Ibid., p.141-170.
[90] [1991] Corps et modèles, Paris : Vrin, 1991.
[91] et [1920] A course of modern analysis, Cambridge : 1920 (1e éd. 1902).
