Le statut de la géométrie dans quelques textes sur l'homologie, de Poincaré aux années 1930

Herreman, Alain

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 3 (1997) no. 2, pp. 241-293.

Le but de cet article est d'analyser le statut de la géométrie dans quelques textes consacrés aux relations d'homologie, depuis les mémoires de Poincaré sur l'Analysis situs jusqu'au début des années 1930. Pour cela, nous introduisons la notion de « contenu géométrique » et nous montrons que ce contenu est présent dans les textes de Poincaré, de Veblen et d'Alexander, sans l'être cependant dans ceux d'autres auteurs (Vietoris, Čech). Par ailleurs, l'analyse de certaines distinctions introduites par ces auteurs permet d'apprécier dans quelle mesure l'exigence d'une « signification géométrique » est pour eux contraignante. Cette analyse montre que leurs rapports à la signification géométrique sont variés et elle complète l'analyse du statut de la géométrie obtenue à partir de l'étude du contenu géométrique. Par-delà l'historicité des mathématiques à laquelle ces analyses donnent accès, c'est la diversité sémiotique des textes mathématiques qui est ainsi mise en évidence.

This paper sets out to investigate the place and status assigned to geometry in various contributions on the topic of homology relationships, starting with the papers written by Poincaré on Analysis situs, and pursuing the issue up to the early 1930s. For that purpose, the concept of “ geometrical content ” is introduced, and is shown to be indeed present in writings by Poincaré, Veblen and Alexander, while it is absent, on the other hand, from the contributions of other authors (Vietoris, Čech). Further, the analysis of certain distinctions introduced by these writers allows an appreciation to be arrived at, of the extent to which their insistence on a “ geometric meaning ” acted as a compelling imperative and constraint in their work. The analysis in fact points to the variety of stances adopted by these mathematicians, with regard to geometric meaning, thus complementing the examination of the status assigned to geometry, on the basis of the analysis of geometrical content. Beyond the historicity of mathematics - as a historical process in the making - thus highlighted by these modes of analysis, the semiotic variance and diversity itself of mathematical writings is thus made manifest.

[1] Alexander (J.W.) [1922] A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem, Transactions of the American Mathematical Society, 23 (1922), p.333-349. | JFM | MR

[2] Alexander (J.W.) [1926] Combinatorial Analysis situs, Ibid., 28 (1926), p.301-329. | JFM | MR

[3] Alexander (J.W.) [1930] The combinatorial theory of complexes, Annals of Mathematics, (II) 31 (1930), p.292-320. | JFM | MR

[4] Alexandroff (P.) [1929] Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension, Ann. of Math., (II) 30 (1929), p.101-187. | JFM

[5] Alexandroff (P.) [1932] Einfachste Grundbegriffe der Topologie, Berlin : Springer, 1932. Trad. angl., Elementary concepts of topology, New York : Dover, 1961. | JFM

[6] Alexandroff (P.) et Hopf (H.) [1935] Topologie I, Berlin : Springer, 1935. | MR

[7] Betti (E.) [1871] Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni, Annali di matematica pura ed applicata, (II) 4 (1871), p.140-158. | JFM

[8] Bollinger (M.) [1972] Geschichtliche Entwicklung des Homologiebegriffs, Archive for History of Exact Sciences, 9 (1972), p.94-170. | MR | Zbl

[9] Cartan (E.) [1928] Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos, Comptes rendus des séances hebdomadaires de l'Académie des Sciences, 187 (1928), p.196-198. | JFM

[10] Čech (E.) [1932] Théorie générale de l'homologie dans un espace quelconque, Fundamenta mathematicae, 19 (1932), p.149-183. | JFM

[11] Chuard (J.) [1922] Questions d'Analysis situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 46 (1922), p.185-224. | JFM

[12] Dehn (M.) et Heegaard (P.) [1907] Analysis situs, dans Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, vol.III. 1.1, Leipzig : Teubner, 1907-1910, article AB3, p.153-220. | JFM

[13] Dieudonné (J.) [1985] Les débuts de la topologie algébrique, Expositiones mathematicae, 3 (1985), p.347-357. | MR | Zbl

[14] Dieudonné (J.) [1989] A history of algebraic and differential topology 1900-1960, Boston-Basel, Birkhäuser, 1989. | MR | Zbl

[15] Goldstein (C.) [1995] Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Saint-Denis : Presses Universitaires de Vincennes, 1995. | MR | Zbl

[16] Heegaard (P.) [1898] Forstudier til en topoligisk teori for de algebraiske Fladers Sammenhang, Diss., Kjobenhavn, 1898. Trad. fr., Sur l'Analysis situs, Bulletin de la Société Mathématique de France, 44 (1916), p.161-242. | JFM | MR

[17] Herreman (A.) [1996] Eléments d'histoire sémiotique de l'homologie, thèse, Université Paris 7, 1996.

[18] Herreman (A.) [1998a] L'analogie au fondement de l'homologie, dans Marie-José Durand-Richard, éd., Le statut de l'analogie dans la démarche scientifique, Paris : Blanchard, à paraître.

[19] Herreman (A.) [1998b] Sur l'analyse sémiotique des textes mathématiques, Semiotica, (1998), à paraître.

[20] Hjelmslev (L.) [1968] Prolégomènes à une théorie du langage. Suivi de La structure fondamentale du langage, Paris : Éditions de Minuit, 1968

[21] Hjelmslev (L.) [1971] Essais linguistiques, Paris : Éditions de Minuit, 1971.

[22] Hjelmslev (L.) [1985] Nouveaux essais, Paris : PUF, 1985.

[23] Kneser (H.) [1926] Die Topologie der Mannigfaltigkeiten, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 34 (1926), p.1-14. | JFM

[24] Lefschetz (S.) [Papers] Selected Papers, New York : Chelsea, 1971. | MR

[25] Lefschetz (S.) [1926] Intersections and transformations of complexes and manifolds, Trans. Amer. Math. Soc., 28 (1926), p.1-49 ; Papers, p.199-247. | JFM | MR

[26] Lefschetz (S.) [1930] Topology, New York : American Mathematical Society (Colloquium Publications, vol. 12), 1930. | JFM

[27] Lefschetz (S.) [1933] On singular chains and cycles, Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (1933), p.124-129 ; Papers, p.479-484. | JFM | MR | Zbl

[28] Lefschetz (S.) [1970] The early development of algebraic topology, Boletim da Sociedade brasileira de matemática, 1 (1970), p.1-48. | MR | Zbl

[29] Mayer (W.) [1929] Über Abstrakte Topologie (I, II), Monatshefte für Mathematik und Physik, 36 (1929), p.1-42 et 219-258. | JFM | MR

[30] Picard (E.) et Simart (G.) [1897-1906] Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, 2 vol., Paris, 1897, 1906. | JFM

[31] Poincaré (H.) [Œuvres] Œuvres de Henri Poincaré, 11 vol., Gauthier-Villars, 1916-1956. | Zbl

[32] Poincaré (H.) [1895] Analysis situs, Journal de l'École polytechnique, (II) 1, p.1-121 ; Œuvres VI, p.193-288. | JFM

[33] Poincaré (H.) [1899] Complément à l'Analysis situs, Rc. Circ. mat. Palermo, 13 (1899), p.285-343 ; Œuvres VI, p.289-337. | JFM

[34] Poincaré (H.) [1900] Second complément à l'Analysis situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), p.277-308 ; Œuvres VI, p.338-370. | JFM

[35] Poincaré (H.) [1902a] Sur certaines surfaces algébriques ; troisième complément à l'Analysis situs, Bull. Soc. math. France, 30 (1902), p.49-70 ; Œuvres VI, p.373-392. | JFM | Numdam | MR

[36] Poincaré (H.) [1902b] Sur les cycles des surfaces algébriques ; Quatrième complément à l'Analysis situs, Journal de mathématiques pures et appliquées, (V) 8 (1902), p.169-214 ; Œuvres VI, p.397-434. | JFM | Numdam

[37] Poincaré (H.) [1904] Cinquième complément à l'Analysis situs, Rc. Circ. mat. Palermo, 18 (1904), p.45-110 ; Œuvres VI, p.435-498. | JFM

[38] Poincaré (H.) [1908] L'avenir des mathématiques, dans Science et méthode, Paris : Flammarion, 1908. | JFM

[39] Poincaré (H.) [1921] Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincaré faite par lui-même, Acta mathematica, 38 (1921), p.37-135 [rédigée en 1901].

[40] Rham (G. De) [1929] Intégrales multiples et Analysis situs, C. R. Acad. sci. Paris, 188 (1929), p.1651-1653. | JFM

[41] Rham (G. De) [1931] Sur l’Analysis situs des variétés à $n$ dimensions, J. math. pures appl., (IX) 10 (1931), p.115-200. | JFM | Numdam | Zbl

[42] Scholz (E.) [1980] Geschichte des Mannigfaltigkeitsbergriffs von Riemann bis Poincaré, Boston-Basel, Birkhäuser, 1980. | MR | Zbl

[43] Seifert (H.) et Threlfall (W.) [1934] Lehrbuch der Topologie, Leipzig : Teubner, 1934. | JFM | Zbl

[44] Steinitz (E.) [1908] Beiträge zur Analysis situs, Sitzungsberichte der Berliner mathematischen Gesellschaft, 7 (1908), p.29-49. | JFM

[45] Stillwell (J.) [1980] Classical topology and combinatorial group theory, New York : Springer, 1980 ; 2e éd. 1993. | MR | Zbl

[46] Tietze (H.) [1908] Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Mh. Math. Phys., 19 (1908), p.1-118. | JFM | MR

[47] Tucker (A.W.) [1933] An abstract approach to manifolds, Ann. of Math., (II) 34 (1933), p.191-243. | MR | Zbl

[48] Veblen (O.) [1922] Analysis situs, New York : American Mathematical Society (Colloquium Publications) ; 2e éd., 1931. | JFM | Zbl

[49] Veblen (O.) et Alexander (J.W.) [1913] Manifolds of $n$ dimensions, Ann. of Math., (II) 14 (1913), p.163-178. | JFM

[50] Vietoris (L.) [1927] Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen, Mathematische Annalen, 97 (1927), p.454-472. | JFM | MR

[51] Volkert (K.) [1994] Das Homöomorphieproblem insbesondere der 3-Mannigfaltigkeiten in der Topologie 1892-1935, Habilitationschrift vorgelegt der Mathematischen Fakultät der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, 1994.

[52] Volkert (K.) [1996] The early history of Poincaré's conjecture, dans J.-L.Greffe, G.Heinzmann, K.Lorenz, éd., Henri Poincaré : Science et philosophie (Congrès international, Nancy, France, 1994), Berlin : Akademie-Verlag et Paris : Blanchard, p. 241-250. | MR | Zbl

[53] Van Der Waerden (B.L.) [1930] Kombinatorische Topologie, Jber. d. Dt. Math.-Verein., 39 (1930), p.121-139. | JFM

[54] Weyl (H.) [1917] Le problème de l'Analysis situs, L'Enseignement mathématique, 19 (1917), p.95-96. | JFM