L'élaboration par Riemann d'une définition de la dérivation d'ordre non entier

Dugowson, Stéphane

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 3 (1997) no. 1, pp. 49-97.

Cet article étudie le contenu et la réception du mémoire peu connu Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation (Essai d'une conception générale de l'intégration et de la dérivation) que Riemann a consacré dans sa jeunesse à la dérivation d'ordre non entier. En revendiquant l'héritage de Lagrange et en utilisant des séries divergentes, il s'y oppose directement à Cauchy. Un siècle plus tard, Hardy montre qu'une partie des considérations développées par Riemann peut être interprétée à la lumière de la théorie des séries divergentes de Borel. La question reste toutefois en partie ouverte de savoir si cela est possible pour l'ensemble des calculs de Riemann et notamment ceux concernant les fonctions complémentaires. On trouvera en appendice le texte de Riemann traduit pour la première fois en français.

This paper examines the content, and subsequent reception, of Riemann's early, and little-noted, memoir Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation (An attempt at a general conception of integration and differentiation), in which he propounded his concept of a fractional calculus. Taking his cue from Lagrange's contribution to the treatement of the calculus, and bringing in divergent series, he adopted a stance directly at odds with Cauchy's. A century further on, Hardy showed that, in some respects, Riemann's arguments may be reinterpreted on the lines of Borel's theory of divergent series. It is still an open question, however, whether this calculus is altogether amenable to such a reading - most notably regarding the matter of complementary functions. Appended to this reappraisal is the first-ever translation into French of Riemann's paper.

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