Genèse des premiers espaces vectoriels de fonctions

Dorier, Jean-Luc

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 2 (1996) no. 2, pp. 265-307.

Cet article examine comment la notion d'espace vectoriel de fonctions s'est peu à peu imposée dans l'analyse entre 1880 et 1930 environ. Malgré certaines approches formelles précoces, les questions linéaires en dimension infinie sont longtemps restées marquées par l'analogie avec la dimension finie, que l'on traitait alors à l'aide des déterminants. Nous regardons comment l'étude de l'équation de Fredholm d'une part, en particulier le travail de Hilbert, et l'émergence de notions topologiques d'autre part, ont fait apparaître, par des généralisations successives, la nécessité d'une approche axiomatique.

The paper surveys the gradual rise and initial adoption in the field of analysis of the concept of vector spaces of functions, in the period from ca. 1880 to ca. 1930. Some early formalistic approaches notwithstanding, the treatment of linear problems for an infinite number of dimensions long bore the mark of the analogy with finite-number of dimensions situations, this at the time involving the use of determinants. The paper examines how the Fredholm equation, on the one hand, and particularly Hilbert's contribution on the matter, and the emergence of topological concepts on the other hand, came to show, through a succession of generalisations, the requirement for an axiomatic approach.

[1] Banach (Stefan) [Œuvres] Œuvres, 2 vol., Warszawa : Éditions scientifiques de Pologne, 1967-1979.

[2] Banach (Stefan) [1922] Sur les opérations linéaires dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, Fundamenta mathematica, 3 (1922), p. 133-181 ; Œuvres 2, p. 306-348. | JFM

[3] Banach (Stefan) [1929] Sur les fonctionnelles linéaires, (en deux parties), Studia mathematica, 1 (1929), p. 211-216 et 223-239 ; Œuvres 2, p. 375-395.

[4] Banach (Stefan) [1932] Théorie des opérateurs linéaires, Warszawa : Funduszu Kultury Narodowej, 1932 ; Œuvres 2, p. 19-217 ; rééd. New York : Chelsea, 1955. | Zbl

[5] Banach (Stefan) et Mazur (Stanislaw) [1933] Sur la dimension linéaire des espaces fonctionnels, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 196 (1933), p. 86-88 ; Œuvres 2, p. 431-433. | JFM | Zbl

[6] Bernkopf (Michael) [1966] The development of function spaces with particular references to their origins in integral equation theory, Archive for History of Exact Sciences, 3 (1966), p. 1-96. | MR | Zbl

[7] Bernkopf (Michael) [1968] A history of infinite matrices - A study of denumerably infinite linear systems as the first step in the history of operators defined on function spaces, Ibid., 4 (1968), p. 308-358. | MR | Zbl

[8] Dieudonné (Jean) [1981] History of functional analysis, Amsterdam : North-Holland (Mathematics Study 49), 1981. | MR | Zbl

[9] Dorier (Jean-Luc) [1993] L'émergence du concept de rang dans l'étude des systèmes d'équations linéaires, Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, (II) 3 (1993), p. 159-190. | Numdam | MR | Zbl

[10] Dorier (Jean-Luc) [1995] A general outline of the genesis of vector space theory, Historia mathematica, 22 (1995), p. 227-261. | MR | Zbl

[11] Dorier (Jean-Luc) [1996] Basis and dimension, from Grassmann to van der Waerden, dans G.Schubring (éd.), Hermann Günther Grassmann (1809-1877), visionary, scientist and neohumanist scholar, Dordrecht : Kluwer (Boston Studies in the Philosophy of Science), 1996. | MR | Zbl

[12] Fischer (Ernst) [1907] Sur la convergence en moyenne, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), p. 1022-1024. | JFM

[13] Fourier (Joseph) [1822] Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 ; Œuvres de Fourier, vol. 1, Paris, 1888 ; rééd., Paris : J. Gabay, 1988. | MR

[14] Fréchet (Maurice) [1904 ] Sur les opérations linéaires, Transactions of the American Mathematical Society, 5 (1904), p. 493-499. | JFM

[15] Fréchet (Maurice) [1905] Sur les opérations linéaires (deuxième note), Ibid., 6 (1905), p. 134-140. | JFM

[16] Fréchet (Maurice) [1906] Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 22 (1906), p. 1-72. | JFM

[17] Fréchet (Maurice) [1907] Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), p. 1414-1416. | JFM

[18] Fréchet (Maurice) [1925] Les espaces vectoriels abstraits, Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 16 (1925-26), p. 51-62. | JFM

[19] Fréchet (Maurice) [1926] Les espaces abstraits topologiquement affines, Acta mathematica, 47 (1926), p. 25-52. | JFM | MR

[20] Fréchet (Maurice) [1928] Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'analyse générale, Paris : Gauthiers-Villars, 1928 ; rééd., 1951. | JFM

[21] Fredholm (Ivar) [Œuvres] Œuvres complètes, publiées sous les auspices de la Kungliga Svenska Vetenskapsakademien par l'Institut Mittag-Leffler, Malmö : Litos reprotryck, 1955.

[22] Fredholm (Ivar) [1900] Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet, Öfversigt af Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar Stockholm, 57 (1900), p. 39-46 ; Œuvres, p. 61-68. | JFM

[23] Fredholm (Ivar) [1903] Sur une classe d'équations fonctionnelles, Acta math., 27 (1903), p. 365-390 ; Œuvres, p. 81-106. | JFM | MR

[24] Gelfand (Israïl) [1941] Normierte Ringe, Matematicheskij Sbornik, 9 (1941), p. 3-23. | JFM | MR | Zbl

[25] Hadamard (Jacques) [1912] Le calcul fonctionnel, L'enseignement mathématique, 14 (1912), p. 5-18 ; Œuvres, Paris : Éditions du CNRS, 1968, vol. 4, p. 2253-2266.

[26] Hahn (Hans) [1908] Bemerkung zu den Untersuchungen des Herrn M. Fréchet : sur quelques points de calcul fonctionnel, Monatshefte für Mathematik und Physik, 19 (1908), p. 247-257. | JFM | MR

[27] Hahn (Hans) [1922] Über Folgen linearer Operationen, Ibid., 32 (1922), p. 1-88. | JFM

[28] Hahn (Hans) [1927] Über lineare Gleichungssystem in linearen Räumen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 157 (1927), p. 214-229. | JFM

[29] Hellinger (Ernst) [1935] Hilberts Arbeiten über Integralgleichungen und unendliche Gleichungssystem, dans Hilberts Gesammelte Abhandlungen, Berlin, 1935 ; rééd., New York : Chelsea, 1953, vol. 3, p. 94-140.

[30] Hellinger (Ernst) et Toeplitz (Otto) [1927] Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, dans Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Leipzig : Teubner, article II C 13, p. 1335-1601 ; rééd. sous forme de livre, New York : Chelsea, 1953. | JFM | MR

[31] Helly (Eduard) [1921] Über Systeme linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Mh. Math. Phys., 31 (1921), p. 60-91. | JFM | MR

[32] Hilbert (David) [1904a] Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1904), p. 49-91. | JFM

[33] Hilbert (David) [1904b] Anwendung der Theorie auf lineare Differentialgleichungen, Ibid. (1904), p. 213-259. | JFM

[34] Hilbert (David) [1905] Anwendung der Theorie auf Probleme der Funktionentheorie, Ibid. (1905), p. 307-338. | JFM

[35] Hilbert (David) [1906a] Theorie der Funktionen von unendlich vielen Variabeln, Ibid. (1906), p. 157-227. | JFM

[36] Hilbert (David) [1906b] Neue Begründung und Erweiterung der Theorie der Integralgleichungen, Ibid. (1906), p. 439-480. | JFM

[37] Hilbert (David) [1910] Anwendung der Theorie auf verschiedene Probleme der Analysis, Geometrie und Gastheorie, Ibid. (1910), p. 355-417.

[38] Hilbert (David) [1912] Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Leipzig/Berlin : Teubner, 1912 [rééd. sous forme de livre des six articles précédents] ; réimp. New York : Chelsea, 1953. | MR | Zbl

[39] Hill (George William) [1877] On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon, Cambridge (Mass.) : Wilson, 1877. | JFM

[40] Koch (Helge Von) [1891] Sur une application des déterminants infinis à la théorie des équations différentielles linéaires, Acta math., 15 (1891), p. 53-63. | JFM | MR

[41] Koch (Helge Von) [1892] Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires, Ibid., 16 (1892-93), p. 217-295. | JFM | MR

[42] Monna (A. F.) [1973] Functional analysis in historical perspective, Utrecht : Oosthoeck, 1973. | MR | Zbl

[43] Moore (Eliakim) [1908] On a form of general analysis with application to linear differential and integral equations, Atti del IV congresso internazionale dei matematici, (Rome, 1908), vol. 2, p. 98-114. | JFM

[44] Moore (Gregory H.) [1995] The axiomatization of linear algebra, Hist. math., 22 (1995), p. 262-303. | MR | Zbl

[45] Neumann (John Von) [1927] Mathematische Begründung der Quantenmechanik, Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen (1927), p. 1-57 ; Collected Works, Oxford : Pergamon Press, vol. I, p. 151-207.

[46] Neumann (John Von) [1932] Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin : Springer, 1932 ; rééd. New York : Dover, 1943. Trad. fr., A. Proca, Les fondements mathématiques de la mécanique quantique, Paris : Alcan, 1946 ; rééd. Paris : Gabay 1988. Trad. angl., Robert T. Beyer, Princeton : Princeton University Press, 1955. | MR

[47] Peano (Giuseppe) [Opere] Opere scelte, 3 vol., Roma : Cremonese, 1957-1959.

[48] Peano (Giuseppe) [1888a] Calcolo geometrico secundo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann e precedutto dalle operazioni della logica deduttiva, Torino : Fratelli Bocca, 1888. | JFM

[49] Peano (Giuseppe) [1888b] Intégration par séries des équations différentielles linéaires, Mathematische Annalen, 32 (1888), p. 450-456 ; Opere 1, p. 83-90. | JFM

[50] Pécot (Jean-Bernard) [1992] Histoire des relations d'orthogonalité en analyse, Thèse de doctorat, Université de Nantes, 1992.

[51] Pécot (Jean-Bernard) [1993a] Les théories spectrales de Poincaré, Sciences et techniques en perspective, 26 (1993), p. 173-205.

[52] Pécot (Jean-Bernard) [1993b] Les théories spectrales de Hilbert et de Schmidt, Ibid., 26 (1993), p. 206-249.

[53] Pincherle (Salvatore) [1912] Équations et opérations fonctionnelles, dans Encyclopédie des sciences mathématique pures et appliquées, tome II, vol. 5, fasc. 1, 1912, article II 26, p. 1-81.

[54] Pincherle (Salvatore) et Amaldi (Ugo) [1901] Le operazioni distributive e le loro applicazioni all'analisi, Bologna : Zanichelli, 1901. | JFM

[55] Poincaré (Henri) [1886] Sur les déterminants d'ordre infini, Bulletin de la Société mathématique de France, 14 (1886), p. 77-90. | JFM | Numdam | MR

[56] Riesz (Frédéric) [Œuvres] Œuvres complètes, Paris : Gauthier-Villars et Budapest : Maison d'édition de l'Académie des sciences de Hongrie, 2 vol., 1960.

[57] Riesz (Frédéric) [1907a] Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), p. 615-619 ; Œuvres 1, p. 378-381. | JFM

[58] Riesz (Frédéric) [1907b] Sur les systèmes orthogonaux de fonctions et l'équation de Fredholm, Ibid., 144 (1907), p. 734-736 ; Œuvres 1, p. 382-385. | JFM

[59] Riesz (Frédéric) [1907c] Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables, Ibid., 144 (1907), p. 1409-1411 ; Œuvres 1, p. 386-388. | JFM

[60] Riesz (Frédéric) [1907d] Über orthogonale Funktionensysteme, Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen (1907), p. 116-122 ; Œuvres 1, p. 389-395. | JFM

[61] Riesz (Frédéric) [1910] Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann., 69 (1910), p. 449-497 ; Œuvres 1, p. 441-489. | JFM | MR

[62] Riesz (Frédéric) [1913] Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues, Paris : Gauthier-Villars, 1913 ; Œuvres 2, p. 829-1016. | JFM

[63] Riesz (Frédéric) [1918] Über lineare Funktionalgleichungen (trad. d'un texte hongrois de 1916), Acta math., 41 (1918), p. 71-98 ; Œuvres 2, p. 1053-1080. | JFM | MR

[64] Schmidt (Erhard) [1907a] Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, (partie I), Math. Ann., 63 (1907), p. 433-467. | MR

[65] Schmidt (Erhard) [1907b] Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, (partie II), Ibid., 64 (1907), p. 161-174. | JFM | MR

[66] Schmidt (Erhard) [1908a] Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, (partie III), Ibid., 65 (1908), p. 370-399. | JFM | MR

[67] Schmidt (Erhard) [1908b] Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend. Circ. math. Palermo, 25 (1908), p. 53-77. | JFM

[68] Stone (Marshall Harvey) [1932] Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis, New York : American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. XV, 1932 ; rééd., 1958. | MR | Zbl

[69] Toeplitz (Otto) [1909] Über die Auflösung unendlichvieler linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Rend. Circ. math. Palermo, 28 (1909), p. 88-96. | JFM

[70] Van Der Waerden (Bartel, L.) [1930] Moderne Algebra, 2 vol., Berlin : Springer, 1930-31 ; 2e éd., 1937.

[71] Wiener (Norbert) [Works] Collected works with commentaries, éd. P. Masani, Cambridge (MA)/London : The MIT Press, 4 vol., 1976-1985.

[72] Wiener (Norbert) [1920] On the theory of sets of points in terms of continuous transformations, Compte rendu du congrès international des mathématiciens, (Strasbourg, 1920), p. 312-315 ; Œuvres 1, p. 281-284. | JFM | MR

[73] Wiener (Norbert) [1922a] The group of linear continuum, Proceedings of the London Mathematical Society, 20 (1922), p. 329-346 ; Œuvres 1, p. 285-302. | JFM | MR

[74] Wiener (Norbert) [1922b] Limit in terms of continuous transformation, Bull. Soc. math. France, 50 (1922), p. 119-134 ; Œuvres 1, p. 303-318. | JFM | Numdam | MR

[75] Wiener (Norbert) [1923] Note on a paper of M. Banach, Fund. math., 4 (1923), p. 136-143 ; Œuvres 3, p. 676-683. | JFM

[76] Wiener (Norbert) [1956] I am a mathematician. The later life of a prodigy, New York : Doubleday, 1956. | MR | Zbl