From Attraction Theory to Existence Proofs: The Evolution of Potential-Theoretic Methods in the Study of Boundary-Value Problems, 1860-1890

Archibald, Thomas

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 2 (1996) no. 1, pp. 67-93.

Cet article analyse les contributions à l'étude des problèmes aux limites, au cours des années 1860-1890, dans le contexte de l'évolution générale de la théorie qui, partant des modèles physiques où la question trouve ses racines, se constitue en domaine autonome relevant des mathématiques pures. Les travaux de Carl Neumann inspirés par la physique et sa méthode de la moyenne apparaissent comme la phase initiale de cette évolution, celle qui emploie des modèles physiques comme partie intégrante des raisonnements et qui se centre sur les hypothèses géométriques relatives aux régions considérées. Le procédé alterné dû à Hermann Amandus Schwarz, méthode à peu près contemporaine, porte nettement la marque de l'analyse weierstrassienne. Ces deux méthodes constituent pour l'essentiel le fonds où s'inscrira la méthode des approximations successives d'Émile Picard, que celui-ci a développée à la suite de la lecture des travaux des deux auteurs précédents. Les recherches de Picard, analytiquement rigoureuses et éloignées des argumentations physiques, marquent à la fois le passage du domaine des mathématiques appliquées à celui des mathématiques pures et l'avènement de la pleine compréhension et maîtrise des méthodes de Weierstrass en France.

This paper examines developments in the study of boundary-value problems between about 1860 and 1890, in the context of the general evolution of this theory from the physical models in which the subject has its roots to a free-standing part of pure mathematics. The physically-motivated work of Carl Neumann and his method of the arithmetic mean appear as an initial phase in this development, one which employs physical models as an integral part of its reasoning and which concentrates on geometrical hypotheses concerning the regions under study. The alternating method of Hermann Amandus Schwarz, roughly contemporary to that of Neumann, exhibits more strongly the analytic influence of Weierstrass. Both methods form the essential background to Émile Picard's method of successive approximations, developed by him following a reading of both men's work. Picard's work, analytically rigorous and remote from physical argument, marks both a transition of the subject matter from applied to pure mathematics, and the full comprehension and mastery of Weierstrassian methods in the French context.

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