À propos de mathématiques
Quelques résultats récents en approximation diophantienne
Queffélec, Martine1
1 Université Lille1 Sciences et Technologies, 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Femmes & math, Forum 9 des Jeunes Mathématiciennes, Tome 9 (2010), pp. 91-96.

Les rationnels sont denses dans les réels et si une suite de rationnels réduits converge vers un irrationnel, la suite des dénominateurs doit tendre vers l’infini. Que peut-on dire de l’erreur, évaluée en fonction de la taille du dénominateur ? C’est l’objet de l’approximation diophantienne.

Historiquement, le lien avec la théorie de la transcendance a été un moteur évident mais des connections avec différentes directions thématiques apparaissent au fil du temps. En particulier, il y a un va-et-vient permanent entre l’approximation rationnelle et l’analyse harmonique ou les systèmes dynamiques : de nombreux résultats s’appuient sur les qualités d’approximation des nombres réels par les rationnels mais dans l’autre sens, l’approximation diophantienne se nourrit des techniques d’analyse, de dynamique ou de combinatoire.

Les résultats récents en approximation diophantienne partent essentiellement dans deux directions : des résultats globaux de type métrique faisant appel à la théorie de la mesure et la dimension de Hausdorff ; dans un tout autre esprit, des constructions explicites utilisant la combinatoire des mots. On essaiera d’illustrer ces deux aspects après un long rappel historique.

Publié le :
Queffélec, Martine 1

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