Des fondements vers l'avant. Sur la rationalité des mathématiques et des sciences formalisées

Paty, Michel

Philosophia Scientiae, Aperçus philosophiques en logique et en mathématiques, Tome 9 (2005) no. 2, pp. 109-130.

L'insuffisance du logicisme pour la question des fondements des mathématiques nous invite à la poser sous un point de vue épistémologique, en termes de rationalité et non plus seulement de logique, et à l'étendre aux sciences formalisées portant sur la nature, comme la physique, voire à la pensée scientifique en général. On doit tenir compte, dans tous les cas, des changements qui correspondent à des constructions conceptuelles : ce sont eux qui assurent en même temps, après coup, le bien-fondé des théories qui les ont préparés, en sorte que si des fondements rationnels peuvent être obtenus, ce n'est, en règle générale, que «vers l'avant». Ces changements posent également la question de leurs conditions de possibilités. La conclusion est qu'il faut admettre, pour que ces changements, et avec eux un accroissement de la connaissance, soient possibles, des transformations corrélatives dans les formes mêmes de la rationalité, mathématique, physique et, d'une manière générale, de la rationalité scientifique.

Forward foundations. On the rationality of mathematics and of formalized sciences. - The failure of logicism for the question of foundations of mathematics invites us to consider this question under an epistemological point of view, in terms of rationality and not only of logic, and to extend it from mathematics to formalized sciences bearing on nature, such as physics, and even to scientific thought in general. One must take into account, in all cases, changes which correspond to conceptual constructions : they secure at the same time, afterwards, the well-foundedness of the theories which have prepared them ; consequently, we should admit as a general rule that rational foundations can only be obtained “forward”. These changes ask also the question of their conditions of possibility. We get the conclusion, for such changes to be possible and together with them enhancement of knowledge, that one must admit correlated transformations in the very forms of rationality, mathematical ones, physical ones and of scientific rationality in general.

[1] Aglan, Alya & Jean-Pierre Azema 2002.- Jean Cavaillès résistant, ou la Pensée en actes, Flammarion, Paris, 2002.

[2] Cartan, Henri 1981.- Préface de la deuxième édition, in ré-éd. de : Cavaillès, J., Méthode axiomatique et formalisme, Essai sur le problème du fondement des mathématiques (1938), Hermann, Paris, 1981. | Zbl

[3] Cavaillès, Jean 1938a.- Méthode axiomatique et formalisme, Essai sur le problème du fondement des mathématiques (Thèse, 1937, 1e éd, 1938), Introduction de Jean-Toussaint Desanti, Préface de Henri Cartan, Hermann, Paris, 1981. | Zbl

[4] Cavaillès, Jean 1938b.- Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles (Thèse complémentaire, 1937, 1e éd, 1938), in [Cavaillès 1962], p. 23-174. | Zbl

[5] Cavaillès, Jean 1946.- Sur la logique et la théorie de la science (rédigé en 1942, 1e éd., 1946), 3e éd., Vrin, Paris, 1976.

[6] Cavaillès, Jean 1962.- Philosophie mathématique, Préface de Raymond Aron, Introduction de Roger Martin, Hermann, Paris, 1962.

[7] Châtelet, Gilles 1993.- Les enjeux du mobile. Mathématiques, physique, philosophie, Seuil, Paris, 1993.

[8] Clarke, Peter 2003.- Frege, neo-logicism and applied mathematics, in Galavotti, Maria Carla & Friedrich Stadler (eds.), Vienna Circle Institut Yearbook, Kluwer, Dordrecht, 2003.

[9] Costa, Newton Da 1997.- O Conhecimento científico, Discurso Editorial, São Paulo (Br), 1997. | MR

[10] Costa, Newton Da & Antonio Doria 1991.- Undecidability and incompleteness in classical mechanics, International Journal of Theoretical Physics, 30, 1991, 1041-1073. | MR | Zbl

[11] Costa, Newton Da & Adonai Sant'Anna 2001.- The mathematical role of time and spacetime in classical physics, Foundations of Physics Letters, 14, 2001, 553-553. | MR

[12] Costa, Newton Da & Adonai Sant'Anna 2002.- Time in Thermodynamics, Foundations of Physics, forthcoming. | MR

[13] Dieudonné, Jean 1977.- Panorama des mathématiques pures : le choix bourbachique, Gauthier-Villars, Paris, 1977. | MR | Zbl

[14] Frege, Gottlob 1884.- Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, W. Koebner, Breslau, 1884. Engl. transl. by J.L. Austin, The Foundations of Arithmetic, Blackwell, Oxford, 1950. French transl. by C. Imbert, Les Fondements de l'arithmétique, Seuil, Paris, 1970.

[15] Granger, Gilles Gaston 1994.- Formes, opérations, objets, Collection “Mathesis”, Vrin, Paris, 1994. | MR

[16] Granger, Gilles Gaston 1999.- La pensée de l'espace, Odile Jacob, Paris, 1999.

[17] Granger, Gilles Gaston 2003.- Science, langage, philosophie, Collection “Penser avec les sciences”, EDP-Sciences, Paty, 2003.

[18] Hilbert, David 1922.- Neubegründung der Mathematik (1922), in D.H., Gessamelte Abhandlungen, Berlin, B.3, 1935.

[19] Lautman, Albert 1977.- Essai sur l'unité des mathématiques et divers écrits, Union Générale d'Editions, Paris, 1977.

[20] Mach, Ernst 1872.- Die Geschichte und die Wurzel des Satzes von der Erhaltung der Arbeit, Prag 1872; 2e éd., 1909. Trad. angl. par Philip E.B. Jourdain, History and roots of the principle of the conservation of energy, Open Court, Chicago, 1911. | JFM

[21] Mach, Ernst 1883.- Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch Dargellstellt, Leipzig, 1883 ; 1933. Trad. fr. par E. Bertrand, La mécanique. Exposé historique et critique de son développement, Hermann, Paris, 1904; ré-éd., 1923. | MR

[22] Paty, Michel 1988.- La matière dérobée. L'appropriation de l'objet de la physique contemporaine, Edition des Archives contemporaines, Paris, 1988.

[23] Paty, Michel 1992.- L'endoréférence d'une science formalisée de la nature, in Dilworth, Craig (ed.), Intelligibility in science, Rodopi, Amsterdam, 1992, p. 73-110.

[24] Paty, Michel 1993.- Einstein philosophe, Presses Universitaires de France, Paris, 1993.

[25] Paty, Michel 1994a.- Le caractère historique de l'adéquation des mathématiques à la physique, in Garma, S.; Flament, D.; Navarro, V. (eds.), Contra los titanes de la rutina. Contre les titans de la routine, Comunidad de Madrid/C.S.I.C., Madrid, 1994, p. 401-428.

[26] Paty, Michel 1994b.- Sur l'histoire du problème du temps : le temps physique et les phénomènes, in Klein, Etienne et Spiro, Michel (éds.), Le temps et sa flèche, Editions Frontières, Gif-sur-Yvette, 1994, p. 21-58 ; 2è éd., 1995 ; Collection Champs, Flammarion, Paris, 1996, p. 21-58.

[27] Paty, Michel 1997.- Predicate of existence and predictivity for a theoretical object in physics, in Agazzi, Evandro (ed.), Realism and quantum physics, Rodopi, Amsterdam, 1997, p. 97-130. | MR

[28] Paty, Michel 1998.- La philosophie et la physique, in Jean-François Mattéi (éd.), Le Discours philosophique, volume 4 de l'Encyclopédie philosophique universelle, Presses Universitaires de France, Paris, 1998, chap. 123, p. 2104-2122.

[29] Paty, Michel 1999.- La place des principes dans la physique mathématique au sens de Poincaré, Philosophia Scientiaæ (Nancy/éd. Kimé, Paris) 3 (2), 1998-1999, 61-74.

[30] Paty, Michel 2001a.- La notion de grandeur et la légitimité de la mathématisation en physique, in Espinoza, Miguel (éd.), De la science à la philosophie. Hommage à Jean Largeault, L'Harmattan, Paris, 2001, p. 247-286. Version angl. : The idea of quantity at the origin of the legitimacy of mathematization in physics, in Gould, Carol (ed.), Constructivism and Practice : Towards a Historical Epistemology, Rowman & Littlefield, Lanham (Md.,USA), 2003, p. 109-135.

[31] Paty, Michel 2001b.- Les concepts de la physique : contenus rationnels et constructions dans l'histoire1-2, junho-dezembro 2001, 209-240

[32] Paty, Michel 2001c.- Réflexions sur le concept de temps, Revista de Filosofia (Madrid), 3a época, volumen XIV, 2001, n${}^{\circ }$25, 53-92.

[33] Paty, Michel 2001d.- Intelligibilité et historicité (Science, rationalité, histoire), in Saldaña, Juan José (ed.), Science and Cultural Diversity. Filling a Gap in the History of Science, Cadernos de Quipu 5, México, 2001, p. 59-95.

[34] Paty, Michel 2003.- Remarks about a “general science of reasoning”, in Galavotti, M.C. and Stadler, Friedrich (eds.), Induction and deduction in the sciences. Vienna Circle Institut Yearbook, Kluwer, Dordrecht, 2003. à paraître,

[35] Paty, Michel a.- Einstein, les quanta et le réel, à paraître. en

[36] Paty, Michel prép..- Empirisme et convention. Géométrie, physique et philosophie chez Poincaré, en préparation.

[37] Poincaré, Henri 1889.- La logique et l'intuition dans la science mathématique et dans l'enseignement, L'Enseignement mathématique, 1, 1889, 157-162. Repr. dans Poincaré [1913-1965], t. 11, p. 129-133. | JFM

[38] Poincaré, Henri 1902.- La science et l'hypothèse, Flammarion, Paris, 1902. | JFM

[39] Poincaré, Henri 1913-1965.- Oeuvres, Gauthier-Villars, Paris, 11 vols., 1913-1965.

[40] Vuillemin, Jules 2000.- Formalisme et réflexion philosophique 2000, 1-44.