Mathématiques et intuitions : Zermelo et Poincaré face à la théorie axiomatique des ensembles et à l'axiome du choix

Longy, Françoise

Philosophia Scientiae, Tome 5 (2001) no. 2, pp. 51-87.

A l'occasion de réflexions sur l'axiome du choix, Zermelo et Poincaré sont amenés à préciser ce qui doit être au fondement des mathématiques et peut servir à justifier un axiome. Défendant l'autonomie des mathématiques, chacun d'eux invoque une intuition mathématique spécifique visible dans la pratique du mathématicien. D'abord, nous explicitons ce qui distingue l'attitude du mathématicien de celle logicien, en prenant l'exemple de Zermelo. Puis, pour déterminer la nature réelle de l'intuition invoquée et la position précise de Zermelo, nous analysons dans le détail son argumentation en dissipant certaines confusions relatives aux notions d'évidence et d'intuition. Nous étudions, ensuite, les arguments de Poincaré destinés à établir, premièrement, que les mathématiques doivent avoir un fondement intuitif et, deuxièmement, qu'il est possible d'offrir un tel fondement à l'axiome du choix. Nous montrons qu'ils prouvent moins que Poincaré ne le croyait. Cette analyse comparative des thèses de Zermelo et de Poincaré nous permet de distinguer un vrai intuitionnisme d'une position faussement semblable où l'«intuition» résulte de la pratique et de la culture acquises dans la discipline. À la lumière de cette distinction, nous réévaluons les arguments avancés par chacun d'eux.

Zermelo and Poincaré had different positions on the foundations of mathematics. However, both defended the autonomy of mathematics, and both appealed to specific mathematical intuitions to justify basic axioms. Their reflections on the axiom of choice show how a similar appraisal of mathematics can lead to different positions, and a thorough analysis of these reflections offers the means to evaluate their position. In this article, first, we distinguish the mathematician's attitude from that of the logician, using Zermelo's work as an example. Secondly, we examine Zermelo's arguments to clarify the notions of evidence and intuition that are involved, and to determine what his position is precisely. Thirdly, we consider Poincaré's arguments regarding, first, the need to resort to intuition to justify fundamental mathematical principles and, then, the possibility of giving an intuitive foundation for the axiom of choice. We show that these arguments prove less than Poincaré had thought. The analysis of Zermelo's and Poincaré's arguments delivers a clear distinction between a genuine intuitionism and a deceptively similar position which calls for an “intuition” founded on mathematical practice and culture. And this distinction allows us to evaluate the significance of each argument and to define the position each one of them truly supports.

[1] Aspray, W. et Kitcher P. (éds.) 1988.- History and Philosophy of Modern mathematics, Minnesota studies in the philosophy of science, XI, Minneapolis : Minnesota Univ. Press. | MR

[2] Audi, R. (éd.) 1995.- The Cambridge Dictionary of Philosophy, Cambridge : Cambridge Univ. Press.

[3] Borel, Emile 1898.- Leçons sur la théorie des fonctions, Paris : Gauthier-Villars.

[4] Cassinet, Jean 1983.- « La position d'Henri Poincaré par rapport à l'axiome du choix, à travers ses écrits et sa correspondance avec Zermelo (1905-1912) », History and Philosophy of Logic 4, 145-155. | MR

[5] Fraenkel, A. et Bar-Hillel Y. 1958.- Foundations of Set Theory, Amsterdam : North-Holland. | MR

[6] Frege, Gottlob et Hilbert, David 1900.- Correspondance, traduit et reproduit dans [Rivenc & Rouilhan (éds.) 1992, 220-235].

[7] Goldfarb, Warren 1988.- « Poincaré against the Logicists » dans [Aspray & Kitcher (éds.) 1988, 61-81]. | MR

[8] Grattan-Guiness, Ivor 1977.- Dear Russel-Dear Jourdain, London : Duckworth.

[9] Heinzmann, G. (éd.) 1986.- Poincaré, Russell, Zermelo et Peano, Textes de la discussion (1906-12) sur les fondements des mathématiques : des antinomies à la prédicativité, Paris : Blanchard. | MR | Zbl

[10] Hilbert, David 1926.- «  Über das Unendliche«  , Mathematische Annalen, 95, 161-190. | JFM | MR

[11] Lebesgue, Henri 1902.- « Intégrale, longueur, aire », Annali di matematica pura ed applicata, 3, 231-359. | JFM

[12] Maddy, Penelope 1990.- Realism in Mathematics, Oxford : Clarendon Press. | MR | Zbl

[13] Moore, Gregory H. 1976.- « Ernst Zermelo, A.E. Harward, and the Axiomatization of Set Theory », Historia Mathematica, 3, 206-209. | MR | Zbl

[14] Moore, Gregory H. 1978.- « The Origins of Zermelo's Axiomatization of Set Theory », Journal of Philosophical Logic, 7, 307-329. | MR | Zbl

[15] Moore, Gregory H. 1982.- Zermelo's Axiom of Choice : its Origin, Development and Influence, New York : Springer-Verlag. | MR | Zbl

[16] Peckhaus, Volker 1990.- « ‘Ich habe mich wohl gehütet, alle Patronen auf einmal zu verschiessen'. Ernst Zermelo in Göttingen », History and Philosophy of Logic, 11, pp.19-58. | MR | Zbl

[17] Poincaré, Henri 1902.- La science et l'hypothèse, Paris : Flammarion, 1968.

[18] Poincaré, Henri 1905/06.- « Les mathématiques et la logique », Revue de métaphysique et de morale, 13 (1905), 815-835, et 14 (1906), 17-34, reproduit dans [Heinzmann (éd.) 1986]. | JFM

[19] Poincaré, Henri 1906a.- « Les mathématiques et la logique », Revue de métaphysique et de morale, 14, 294-317, reproduit dans Heinzmann éd.1986 | JFM

[20] Poincaré, Henri 1906b.- « A propos de la logistique », Revue de métaphysique et de morale, 14, 866-868, reproduit dans Heinzmann éd.1986. | JFM

[21] Poincaré, Henri 1908.- Science et Méthode, Paris : Flammarion. Réédition : cahier spécial 3 de Philosophia Scientiæ, Paris : Kimé, 1999.

[22] Poincaré, Henri 1909a.- « Réflexions sur les deux notes précédentes de A.S. Schönflies et de Zermelo », Acta Matematica, 32, 195-200, reproduit dans [Heinzmann (éd.) 1986]. | MR

[23] Poincaré, Henri 1909b.- « La logique de l'infini » (1), Revue de métaphysique et de morale, 17, 461-482, reproduit dans [Heinzmann (éd.) 1986]. | JFM

[24] Poincaré, Henri 1912.- « La logique de l'infini » (2), Scientia, 1-11, reproduit dans [Heinzmann (éd.) 1986]. | JFM

[25] Rang, B. et Thomas, W. 1981.- « Zermelo's discovery of the « Russell paradox », Historia mathematica, 8, 15-22. | MR | Zbl

[26] Rivenc, F. et Rouilhan, Ph. De (éds). 1992.- Logique et fondements des mathématiques, Paris : Payot.

[27] Rota, Giancarlo 1997.- Indiscrete Thoughts, Boston : Birkhauser. | MR

[28] Young, William H. 1903.- « Overlapping Intervals », Proceedings of the London Mathematical Society, 35, 384-388. | JFM

[29] Zermelo, E. 1904.- « Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann« , Mathematische Annalen, 59, 514-16. | JFM | MR

[30] Zermelo, E. 1908a.- « Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung« , Mathematische Annalen, 65, 107-128, trad. fr. dans [Rivenc & Rouilhan (éds.) 1992], 342-366. | JFM | MR

[31] Zermelo, E. 1908b.- « Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre« , Mathematische Annalen, 65, 261-281, trad. fr. partie I dans [Rivenc & Rouilhan (éds.) 1992], 370-378. | JFM

[32] Zermelo, E. 1909.- « Sur les ensembles finis et le principe d'induction complète », Acta Matematica, 32, 185-193, reproduit dans [Heinzmann (éd.) 1986]. | JFM | MR