Originalité et postérité : L'Ausdehnungslehre de Hermann Guenther Grassmann (1844)

Dorier, Jean-Luc

Philosophia Scientiae, Tome 4 (2000) no. 1, pp. 3-45.

Le but de cet exposé n'est pas de donner une présentation exhaustive du traité de Grassmann, mais plutôt d'en donner certaines clefs de lecture. Le contenu mathématique à proprement parler n'est, au demeurant, qu'effleurer. Après une brève présentation de l'homme et du contexte mathématique de l'époque, nous nous intéressons à l'influence que Justus Grassmann, le père de Hermann a pu avoir sur l'œuvre mathématique de son fils. L'une des principales difficultés de l'Ausdehnungslehre reste sa dimension philosophique, nous l'abordons à travers une présentation de l'introduction et de l'influence de Friedrich Schleiermacher. Enfin, nous montrons comment les positions philosophiques de Grassmann opèrent sur le contenu mathématique, en analysant en détail les huit premiers paragraphes de son œuvre, qui non seulement fondent la théorie mais présentent l'équivalent des concepts modernes de base et de dimension.

[1] Argand, Jean Robert 1806.- Essai sur une Manière de Représenter les Quantités Imaginaires dans les Constructions Géométriques, Annales de Mathématiques 5, 33-147 ; reprint ed. J. Hoüel, Paris : Gauthier-Villars, 1874 ; Paris : Blanchard 1971. | MR

[2] Bellavitis, Giusto 1833.- Sopra alcune Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica, Il Poligrafo Giornale di Scienze, Lettre ed Arti. Verona 13, 53-61.

[3] Bellavitis, Giusto 1935.- Saggio di Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle Equipollenze), Annali delle Scienze del Regno Lombaro-Veneto. Padova 5, 244-259.

[4] Bourbaki, Nicolas 1947.- Éléments de Mathématiques -livre II- Chap.3- Algèbre Multilinéaire, Paris :Hermann.

[5] Budon, J. 1933.- Sur la Représentation Géométrique des Nombres Imaginaires175-200 & 220-232. | JFM

[6] Buée, Adrien Qentin 1805.- Mémoire sur les Quantités Imaginaires, Transactions of the Royal Society of London 96, 23-88.

[7] Burali-Forti, Cesare et Marcolongo, Roberto 1909.- Omografie Vettoriali con Applicazioni alle Derivate rispetto ad un Punto e alla Fisica Matematica, Turin : G. B. Pretrini di Giovani Gallazio.

[8] Cartan, Elie 1908.- Nombres Complexes (version augmentée de l'article allemand de E. Study, 1898), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, Paris : Gauthier-Villars, 1904-1914, Article I-5, 1(1) : 329-468 ; ou Œuvres Complètes (6 vols., Paris : Gauthier-Villars, 1953), 1(2) : 107-247.

[9] Cartan, Elie 1922.- Leçons sur les Invariants Intégraux, Paris : Hermann. | JFM | MR

[10] Cauchy, Augustin-Louis 1853.- Sur les Clefs Algébriques, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 36, 70-75, 129-136 et 161-169.

[11] Châtelet, Gilles 1992.- La Capture de l'Extension comme Dialectique Géométrique : Dimension et Puissance selon L'Ausdehnungslehre de Grassmann (1844), in Boi et al. (eds.) 1830-1930 : A Century of Geometry - Epistemology, History and Mathematics, Lecture notes in Physics vol. 402, Berlin/New-York/Paris : Springer, pp. 222-244.

[12] Crowe, Michael J. 1967.- A History of Vector Analysis - The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Notre-Dame : University Press. | MR | Zbl

[13] Descartes, René 1637.- Le Discours de la Méthode pour bien Conduire sa Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences, Leyden : Jan Maire ; réédition, La Géométrie, ed. M. Leclerc et J-C. Juhel, Nantes : edition de L'AREFPPI, 1984.

[14] Dirichlet, Gustav Peter Lejeune 1863.- Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig : Vieweg, réédité avec des suppléments de Richard Dedekind en 1871 (ed.1), 1879 (ed.2), 1893 (ed.4) ; rééd. ed.4., New-York : Chelsea Publishing Company, 1968.

[15] Dorier, Jean-Luc 1995.- A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory, Historia Mathematica 22(3), 227-261. | MR | Zbl

[16] Dorier, Jean-Luc 1996.- Basis and Dimension : from Grassmann to van der Waerden, in Schubring (ed.) (1996) : Hermann Günther Grassmann (1809-1877) : Visionnary Mathematician, Scientist and Neohumanist Scholar, Boston Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht : Kluwer Academic Publishers. | MR | Zbl

[17] Dorier, Jean-Luc 1997a.- (ed.), L'enseignement de l'algèbre linéaire en question, Grenoble : La Pensée Sauvage Éditeur.

[18] Dorier, Jean-Luc 1997b.- L'Ausdenhungslehre de Grassmann : Une étape clef dans la théorisation du linéaire, in Flament (éd.) Le nombre une hydre à n visages - entre nombres complexes et vecteurs, Paris : Éditions de la Maison des Sciences de l'Homme, pp. 163-191.

[19] Pierre De Fermat 1643.- Ad Locos Planos et Solidos Isagoge, Toulouse ; rééd., in Varia Opera Mathematica, 3 vols., ed. P. Tannery et C. Henri, Paris : Gauthier-Villars, 1891-1912, 85-96.

[20] Fearnley-Sander, Desmond 1979.- Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, American Monthly 86, 809-817. | MR | Zbl

[21] Fearnley-Sander, Desmond 1982.- Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra, American Monthly 89, 161-166. | MR | Zbl

[22] Flament, Dominique 1992.- La “lineale Ausdehnungslehre” (1844) de Hermann Günther Grassmann, in Boi et al. (eds) 1830-1930 : A Century of Geometry - Epistemology, History and Mathematics, Lecture notes in Physics vol. 402, Berlin/New-York /Paris : Springer, pp. 205-221. | MR

[23] Flament, Dominique 1994.- Hermann Günther Grassmann, La Science de la Grandeur Extensive, La lineale Ausdehnungslehre, Paris : Blanchard. | MR

[24] Gauss, Carl Friedrich 1831.- Theoria Residuorum Biquadraticorum - Commentatio Secunda, papier lu à Göttingen le 23 avril 1831, imprimé pour la première fois in Werke, 12 vols., Leipzig : Teubner, 1863-1933, 2 :69-178. | MR

[25] Grassmann, Hermann 1844.- Die lineale Ausdehnungslehre1894-1911, 1 :1-139$]$.

[26] Grassmann, Hermann 1846.- Grundzüge zu einer rein geometrischen Theorie der Kurven mit Anwendung einer rein geometrischen Analyse, Journal für die reine und angewandte Mathematik 31, 11-132, reed. $[$Grassmann 1894/1911, 2(1) :49-72$]$. | Zbl

[27] Grassmann, Hermann 1847.- Geometrische Analyse, geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik - mit einer erläuternden Abhandlung von A. F. Möbius1894-1911, 1 :320-399$]$.

[28] Grassmann, Hermann 1862.- Die Ausdehnungslehre, vollständig und in strenger Form1894-1911, 2 :1-383$]$.

[29] Grassmann, Hermann 1894-1911.- Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke, 3 vols., ed. F. Engel, Leipzig : Teubner ; rééd., New-York/London : Johnson Reprint Corporation, 1972.

[30] Hamilton, William Rowan 1844.- On Quaternions or a New System of Imagineries in Algebra, Philosophical Magazine 25, 489-495.

[31] Hamilton, William Rowan 1866.- Elements of Quaternions, 2 vols., Dublin ; rééd., New-York : Chelsea Publishing Company, 1969. | MR

[32] Hankel, Hermann 1867a.- Theorie der Complexen Zahlensysteme, Leipzig.

[33] Hankel, Hermann 1867b.- Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen, Leipzig.

[34] Klein, Felix 1872.- Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexanders-Universität zu Erlangen, Erlangen : Deichert ; reed. Le Programme d'Erlangen, trans. M. H. Padé, ed. J. Dieudonné, Paris : Gauthier-Villars, 1974. | JFM

[35] Leibniz, Gottfried Wilhelm 1679.- lettre à Christian Huyghens - Hanover ce 8 de Sept. 1679, Christi. Hugenii aliorumque seculi XVII. virorum celebrium exercitationes mathematicae et philosophicae, ed. Uylenbroek, Hagen : Hagae comitum, 1833, 2 :6-12.

[36] Lewis, Albert C. 1977.- H. Grassmann's 1844 Ausdehnungslehre and Schleiermacher's Dialektik, Annals of Sciences 34, 103-162. | MR | Zbl

[37] Lewis, Albert C. 1981.- Justus Grassmann's School Programs as Mathematical Antecedents of Hermann Grassmann's 1844 Ausdehnungslehre, in Jahnke et Otte (eds.) Epistemological and Social Problems of the Sciences in the Early Nineteenth Century, Dordrecht : D. Reidel Publishing Company, pp. 255-267.

[38] Möbius, August Ferdinand 1827.- Der Barycentrische Calcul1967, 1 :1-388$]$.

[39] Möbius, August Ferdinand 1843.- Die Elemente der Mechanik des Himmels1967, 4 :1-318$]$

[40] Möbius, August Ferdinand 1915.- Gesammelte Werke, 4 vols., ed. R. Baltzer, Leipzig : S. Hirtzel KG ; rééd., Wiesbaden : Dr. Martin Sändig oHG, 1967.

[41] Mourey, C. V. 1828.- La Vraie Théorie des Quantités Négatives et Prétendues Imaginaires, Paris ; rééd., Paris : Mallet-Bachelier, 1861.

[42] Otte, Michael 1989.- The Ideas of Hermann Grassmann in the Context of the Mathematical and Philosophical Tradition since Leibniz, Historia Mathematica 16, 1-35. | MR | Zbl

[43] Peano, Giuseppe 1888.- Calcolo Geometrico Secundo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann e Precedutto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, Turin : Fratelli Bocca editori. | JFM

[44] Rota, Gian-Carlo et al. 1985.- On the Exterior Calculus of Invariant Theory, Journal of Algebra 96(1), 120-160. | MR | Zbl

[45] Barré De Saint Venant, Adhémar 1845.- Mémoire sur les Sommes et les Différences Géométriques, et sur leur Usage pour Simplifier la Mécanique, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 21, 620-625.

[46] Schlegel, Viktor 1872-75.- System der Raumlehre. Nach den Prinzipien der Grassmann' schen Ausdehnungslehre, 2 vols, Leipzig : Teubner. | JFM

[47] Schlegel, Viktor 1878.- Hermann Grassmann, sein Leben und seine Werke, Leipzig. | JFM

[48] Schreier, Otto et Sperner, Emanuel 1931-35.- Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra (en deux parties), Hamburger Mathematische Einzelschriften 10 (1931) and 19 (1935) ; reed. sous la forme d'un livre : Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory, trad. Martin Davis and Melvin Hausner, New-York : Chelsea Publishing Company, 1951. | MR

[49] Schubring, Gert (ed.) 1996.- Hermann Günther Grassmann (1809-1877) : Visionnary Mathematician, Scientist and Neohumanist Scholar -Papers from a Sesquicentinnial Conference, Boston Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht : Kluwer Academic Publishers. | MR | Zbl

[50] Steinitz, Ernst 1910.- Algebraische Theorie der Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 137, 167-309 ; rééd., H. Hasse and R. Baer (eds.), Berlin/Leipzig : De Gruyter, 1930. | JFM

[51] Waerden (Van Der) Bartel. L. 1930-31.- Moderne Algebra, 2 vols., Berlin : Springer.

[52] Wallis, John 1693.- Opera Mathematica, 3 vols., Oxford : Oxianae.

[53] Warren, John 1828.- A treatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negatives Quantities, Cambridge ; rééd. Philosophical Transactions London 119 (1829), 241-254.

[54] Wessel, Caspar 1798.- Om Directionens Analytiske Betegning, (lu à l'Académie Royal du Danemark en 1797), Copenhague, 1798 ; reed. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter (2) 5 (1799), 496-518 ; Essai sur la Représentaion Analytique de la Direction, trad. H.G. Zeuthen, Copenhage/Paris : H. Valentiner et T. N. Thiele Editeurs, 1897. | JFM

[55] Weyl, Hermann 1918.- Raum-Zeit-Materie, Berlin : Springer ; Space-Time-Matter, trad. L. Brose, New-York : Dover, 1952. | MR

[56] Zaddach, Arno 1994.- Grassmanns Algebra in der Geometrie, Mannheim/ Leipzig/ Wien/ Zürich : B. I. Wissenschaftverlag. | MR