Poincaré's early use of <i>Analysis situs</i> in nonlinear differential equation : variations around the theme of Kronecker's integral

Mawhin, Jean

Poincaré's early use of Analysis situs in nonlinear differential equation : variations around the theme of Kronecker's integral

Mawhin, Jean ¹

¹ Université de Louvain, Institut mathématique

Philosophia Scientiae, Contributions à l’histoire des mathématiques au XIXe siècle, Tome 4 (2000) no. 1, pp. 103-143.

Résumé
Abstract

Nous analysons l'évolution chronologique et conceptuelle des premières apparitions d'outils d'Analysis situs, et en particuluer de l'indice de Kronecker, dans la théorie qualitative des équations différentielles de Poincaré. Nous montrons ainsi que, bien avant sa fameuse série de mémoires sur l'Analysis situs, Poincaré avait déjà obtenu ou anticipé de nombreux résultats importants de topologie.

We analyze the chronological and conceptual evolution of the early use by Poincaré of Analysis situs tools, and in particular of Kronecker's index in his qualitative theory of nonlinear differential equations. We show in this way that prior to his famous series of subsequent papers on Analysis situs, Poincaré had already obtained or anticipated many important topological results.

Export
Comment citer

Affiliations des auteurs :

Mawhin, Jean ¹

¹ Université de Louvain, Institut mathématique

@article{PHSC_2000__4_1_103_0,
     author = {Mawhin, Jean},
     title = {Poincar\'e's early use of {\protect\emph{Analysis} situs} in nonlinear differential equation : variations around the theme of {Kronecker's} integral},
     journal = {Philosophia Scientiae},
     pages = {103--143},
     publisher = {\'Editions Kim\'e},
     volume = {4},
     number = {1},
     year = {2000},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/PHSC_2000__4_1_103_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - Mawhin, Jean
TI  - Poincaré's early use of Analysis situs in nonlinear differential equation : variations around the theme of Kronecker's integral
JO  - Philosophia Scientiae
PY  - 2000
SP  - 103
EP  - 143
VL  - 4
IS  - 1
PB  - Éditions Kimé
UR  - http://www.numdam.org/item/PHSC_2000__4_1_103_0/
LA  - en
ID  - PHSC_2000__4_1_103_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Mawhin, Jean
%T Poincaré's early use of Analysis situs in nonlinear differential equation : variations around the theme of Kronecker's integral
%J Philosophia Scientiae
%D 2000
%P 103-143
%V 4
%N 1
%I Éditions Kimé
%U http://www.numdam.org/item/PHSC_2000__4_1_103_0/
%G en
%F PHSC_2000__4_1_103_0

Mawhin, Jean. Poincaré's early use of Analysis situs in nonlinear differential equation : variations around the theme of Kronecker's integral. Philosophia Scientiae, Contributions à l’histoire des mathématiques au XIXe siècle, Tome 4 (2000) no. 1, pp. 103-143. http://www.numdam.org/item/PHSC_2000__4_1_103_0/

Bibliographie
Cité par

[1] Alexandroff, P.S. 1972.- Poincaré and topology, Russian Math. Surveys 27 (1972), 157-168. | MR

[2] Alexandroff, P. and Hopf, H. 1935.- Topologie, I, Berlin: Springer. | MR

[3] Andersson, K.G. 1994.- Poincaré's discovery of homoclinic points, Arch. History Exact Sci. 48, 133-147. | MR | Zbl

[4] Barrow-Green, J. 1994.- Oscar II's Prize competition and the error in Poincaré's memoir on the three body problem, Arch. History Exact Sci. 48, 107-131. | MR | Zbl

[5] Barrow-Green, J. 1997.- Poincaré and the Three Body Problem, Providence, RI: American Math. Soc. | MR | Zbl

[6] Bendixson, I. 1901.- Sur les courbes définies par les équations différentielles, Acta Math. 24, 1-88. | JFM | MR

[7] Betti, E. 1871.- Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni, Ann. Mat. Pura Appl. (2) 4, 140-158. | JFM

[8] Birkhoff, G.D. 1913.- Proof of Poincaré's geometric theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 14, 14-22. | JFM | MR

[9] Bohl, P. 1904.- Ueber die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage, J. Reine Angew. Math. 127, 179-276. | JFM

[10] Boy, W. 1903.- Ueber die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Flächen, Math. Ann. 57, 151-184. | JFM | MR

[11] Brouwer, L.E.J. 1911.- Beweis der Invarianz der Dimensionszahl, Math. Ann. 70, 161-165. | JFM | MR

[12] Brouwer, L.E.J. 1912.- Ueber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71, 97-115. | JFM

[13] Chabert, J.L. et A. Dahan Dalmedico 1992.- Les idées nouvelles de Poincaré, in Chaos et déterminisme, Points Sciences S80, Paris: Seuil, 274-305.

[14] Dahan Dalmedico, A. 1996.- Le difficile héritage de Henri Poincaré en systèmes dynamiques, in Henri Poincaré. Science et Philosophie, Greffe, Heinzmann, Lorenz ed., Berlin: Akademie Verlag, 13-33. | MR | Zbl

[15] Davidoglou, A. 1901.- Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations I, C.R. Acad. Sci. Paris 133, 784-786; II ibid. 860-863. | JFM

[16] Dehn, M., and Heegard, P. 1907.- Analysis situs, Enzykl. Math. Wiss. III A B 3, Leipzig: Teubner, 153-220. | JFM

[17] Dieudonné, J. 1989.- A History of Algebraic and Differential Topology, Boston-Basel: Birkhäuser. | MR | Zbl

[18] Dieudonné, J. 1994.- Une brève histoire de la topologie, in Development of Mathematics, Pier ed., Basel-Boston: Birkhäuser, 35-155. | MR | Zbl

[19] Dugac, P., ed. 1986.- La correspondance d'Henri Poincaré avec des mathématiciens, de A à H, Cahiers du Séminaire d'Histoire des Mathématiques, 7, 59-219. | Numdam

[20] Dugac, P., ed. 1989.- La correspondance d'Henri Poincaré avec des mathématiciens, de J à Z, Cahiers du Séminaire d'Histoire des Mathématiques, 10, 83-230. | Numdam

[21] Dyck, W. Von 1888.- Beiträge zur Analysis situs I, Math. Ann. 32, 457-512; II, ibid. 37, 273-316. | JFM | MR

[22] Dyck, W. Von 1894.- Sur la détermination du nombre des racines communes aux systèmes d'équations simultanées et sur le calcul de la somme des valeurs d'une fonction dans ces points,I, C.R. Acad. Sci. Paris 119, 1254-1257; II, ibid. 120, 34-36. | JFM

[23] Dyck, W. Von 1895.- Beiträge zur Potentialtheorie I, Sitzungsberichte der König- lichen Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München (Münchner Berichte) 25, 261-277; II, ibid. 447-500; III, ibid. 28, 203-224. | JFM

[24] Gillain, C. 1991.- La théorie qualitative de Poincaré et le problème de l'intégration des équations différentielles, in Cahiers d'Histoire et de Philosophie des Sciences, nouvelle série, 34, 215-242.

[25] Goroff, D.L. 1993.- Henri Poincaré and the birth of chaos theory: An introduction to the English translation of Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique céleste, American Institute of Physics Press, I1-I107.

[26] Hadamard, J. 1910.- Sur quelques applications de l'indice de Kronecker, in J. Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, 2e éd., vol. 2, Paris: Hermann, Paris.

[27] Hadamard, J. 1912.- L'oeuvre mathématique de Poincaré, Acta Math. 38, 203-287. | MR

[28] Hadamard, J. 1922.- The early scientific work of Poincaré, Rice Institute Pamphlets, IX, No. 3, 111-183. | JFM

[29] Hadamard, J. 1933.- The later scientific work of Poincaré, Rice Institute Pamphlets, XX, No. 1, 1-86. | JFM

[30] Hermite, Ch. 1883.- Cours de M. Hermite, professé pendant le 2e semestre 1881-82 à la Faculté des Sciences de Paris, Paris: Hermann. | EuDML

[31] Hopf, H. 1925.- Ueber die Curvatura Integra geschlossener Hyperflächen, Math. Ann. 95, 340-367. | EuDML | JFM | MR

[32] Hopf, H. 1926.- Vektorfelder in $n$ -dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 96, 225-250. | EuDML | JFM

[33] Hopf, H. 1966.- Ein Abschnitt aus der Entwicklung der Topologie, Jahresberichte der Deutsch. Math. Ver. 68, 182-192. | EuDML | MR | Zbl

[34] Johnson, D.M. 1981.- The problem of the invariance of dimension in the growth of modern topology, Part II, Arch. History Exact Sciences 25, 85-267. | MR | Zbl

[35] Jordan, C. 1893.- Cours d'analyse, 2e éd., Paris.

[36] Kronecker, L. 1869.- Ueber Systeme von Functionen mehrer Variabeln I, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 68, 159-193; II, ibid. 688-698. | JFM

[37] Kronecker, L. 1878.- Ueber die Charakteristik von Functionen-Systeme, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 145-152. | JFM

[38] Kronecker, L. 1891.- Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées, C.R. Acad. Sci. Paris 113, 1006-1012. | JFM

[39] Lefschetz, S. 1930.- Topology, Amer. Math. Soc. Colloquium Public. XII, New York.

[40] Lefschetz, S. 1967.- Geometric differential equations: recent past and proximate future, in Differential and Dynamical Systems, New York: Academic Press, 1-14. | MR | Zbl

[41] Mawhin, J. 1979.- Topological Degree Methods in Nonlinear Analysis, CBMS Regional Conference Series in Math. No. 40, Providence: Amer. Math. Soc. | MR | Zbl

[42] Mawhin, J. 1994a.- Boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations: from successive approximations to topology, in Development of Mathematics, Pier ed., Basel-Boston: Birkhäuser, 443-477. | MR | Zbl

[43] Mawhin, J. 1994b.- The centennial legacy of Poincaré and Lyapunov in ordinary differential equations, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 34, Suppl. Studies in the History of Modern Math. I, 9-46. | MR | Zbl

[44] Mawhin, J. 1996.- The early reception in France of the work of Poincaré and Lyapunov in the qualitative theory of differential equations, Philosophia Scientiæ, 1 (4), 119-133. | MR

[45] Mignosi, G. 1925.- Teorema di Sturm e sue estensioni, Rend. Circ. Mat. Palermo 49, 1-164. | JFM

[46] Miranda, C 1941.- Un' osservazione su un teorema di Brouwer, Boll. Un. Mat. Ital. (2) 3, 5-7. | JFM | MR

[47] Morse, M. 1925.- Relations between the critical points of a real function of $n$ independent variables, Trans. Amer. Math. Soc. 27, 345-396. | JFM | MR

[48] Morse, M. 1967.- What is analysis in the large? in Studies in Global Analysis and Geometry, Washington: MAA, 5-15.

[49] Nabonnand, Ph. 1996.- Henri Poincaré et le problème des géodésiques sur une surface convexe, in Henri Poincaré. Science et Philosophie, Greffe, Heinzmann, Lorenz ed., Berlin: Akademie Verlag, 265-276. | MR | Zbl

[50] Nabonnand, Ph. 1998.- La correspondance de Poincaré. Volume I. La correspondance entre Poincaré et Mittag-Leffler, Publications des Archives Henri Poincaré, Basel: Birkhäuser 1999. | MR

[51] Phragmén E. 1892.- Sur une extension du théorème de Sturm, C.R. Acad. Sci. Paris 114, 205-208. | JFM

[52] Picard, E. 1889.- Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées, Nouv. Ann. Math. (3) 8, 5-13. | JFM | Numdam

[53] Picard, E. 1891a.- Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées, C.R. Acad. Sci. Paris 113, 356-358. | JFM

[54] Picard, E. 1891b.- Sur la recherche du nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées, C.R. Acad. Sci. Paris 113, 669-672. | JFM

[55] Picard, E. 1891c.- Du nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées, C.R. Acad. Sci. Paris 113, 1012-1014. | JFM

[56] Picard, E. 1892a.- Observations relatives à la communication de M. Phragmén, C.R. Acad. Sci. Paris 114, 208. | JFM

[57] Picard, E. 1892b.- Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées, J. Math. Pures Appl. (4) 8, 5-24. | JFM | Numdam

[58] Picard, E. 1892c.- Traité d'Analyse, 3 volumes, Paris: Gauthier-Villars.

[59] Poincaré, H. 1880.- Sur les courbes définies par les équations différentielles, C.R. Acad. Sci. Paris 90, 673-675. | JFM

[60] Poincaré, H. 1881a.- Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle, J. de Math. Pures et Appl. (3) 7, 375-422. | JFM | Numdam

[61] Poincaré, H. 1881b.- Sur les courbes définies par les équations différentielles, C.R. Acad. Sci. Paris 93, 951-952. | JFM

[62] Poincaré, H. 1882a.- Sur les points singuliers des équations différentielles, C.R. Acad. Sci. Paris 94, 416-418. | JFM

[63] Poincaré, H. 1882b.- Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle, J. de Math. pures et appl. (3) 8, 251-296. | JFM | Numdam

[64] Poincaré, H. 1883a.- Sur les fonctions de deux variables, C.R. Acad. Sci. Paris 96, 238-240. | JFM

[65] Poincaré, H. 1883b.- Sur les fonctions $Θ,$ Bull. Soc. Math. France 11, 129-134. | JFM | Numdam | MR

[66] Poincaré, H. 1883c.- Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps, C.R. Acad. Sci. Paris 97, 251-252. | JFM

[67] Poincaré, H. 1884a.- Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps, Bulletin Astronomique 1, 65-74.

[68] Poincaré, H. 1884b.- Sur les courbes définies par les équations différentielles, C.R. Acad. Sci. Paris 98, 287-289. | JFM

[69] Poincaré, H. 1885a.- Sur les courbes définies par les équations différentielles, J. Math. Pures et Appl. (4) 1, 167-244. | JFM | Numdam

[70] Poincaré, H. 1885b.- Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation, Acta Math. 7, 259-380. | JFM | MR

[71] Poincaré, H. 1886.- Sur les courbes définies par les équations différentielles, J. Math. Pures et Appl. (4) 2, 151-217. | JFM | Numdam

[72] Poincaré, H. 1890.- Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Math. 13, 1-270. | JFM

[73] Poincaré, H. 1891.- Sur le problème des trois corps, Bulletin Astronomique 8, 12-24.

[74] Poincaré, H. 1892a.- Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Paris: Gauthier-Villars, tome I (1892), tome II (1894), tome III (1899).

[75] Poincaré, H. 1892b.- Sur l'Analysis situs, C.R. Acad. Sci. Paris 115, 633-636. | JFM

[76] Poincaré, H. 1895.- Analysis situs, J. Ecole Polytechnique (2) 1, 1-121. | JFM

[77] Poincaré, H. 1899a.- Sur les nombres de Betti, C.R. Acad. Sci. Paris 128, 629-630. | JFM

[78] Poincaré, H. 1899b.- Complément à l'Analysis situs, Rend. Circ. Mat. Palermo 13, 285-343. | JFM

[79] Poincaré, H. 1900.- Second complément à l'Analysis situs, Proc. London Math. Soc. 32, 277-308. | JFM

[80] Poincaré, H. 1901a.- Sur l'analysis situs, C.R. Acad. Sci. Paris 133, 707-709. | JFM

[81] Poincaré, H. 1901b.- Sur la connexion des surfaces algébriques, C.R. Acad. Sci. Paris 133, 969-973. | JFM

[82] Poincaré, H. 1902a.- Sur certaines surfaces algébriques. Troisième complément à l'Analysis situs, Bull. Soc. Math. France 30, 49-70. | JFM | Numdam

[83] Poincaré, H. 1902b.- Sur les cycles des surfaces algébriques. Quatrième complément à l'Analysis situs, J. Math. Pures Appl. (5) 8, 169-214. | JFM | Numdam

[84] Poincaré, H. 1904.- Cinquième complément à l'Analysis situs, Rend. Circ. Mat. Palermo 18, 45-110. | JFM

[85] Poincaré, H. 1905.- Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes, Trans. Amer. Math. Soc. 6, 237-274. | JFM | MR

[86] Poincaré, H. 1912.- Sur un théorème de géométrie, Rend. Circ. Mat. Palermo 33, 375-407. | JFM

[87] Poincaré, H. 1921.- Analyse de ses travaux scientifiques, Acta Math. 38, 36-135.

[88] Runge, C. 1898.- Separation und Approximation der Wurzeln, Enzykl. Math. Wiss. I B 3a, 404-448. | JFM

[89] Sabina De Lis, J. 1996.- Poincaré y la teoria cualitativa de ecuaciones diferenciales, preprint.

[90] Siegberg, H.W. 1981.- Some historical remarks concerning degree theory, Amer. Math. Monthly 88, 125-139. | MR | Zbl

[91] Sinaceur, H. 1988.- Deux moments dans l'histoire du théorème d'algèbre de Ch.F. Sturm, Revue d'histoire des sciences 41, 99-132. | MR | Zbl

[92] Sinaceur, H. 1991.- Corps et Modèles. Essai sur l'histoire de l'algèbre réelle, Mathesis, Paris: Vrin.

[93] Sinaceur, H. 1992.- Cauchy, Sturm et les racines des équations, Revue d'Histoire des Sciences 45, 51-67. | MR | Zbl

[94] Tietze, H., und Vietoris, L. 1929.- Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen der Topologie, Enzykl. Math. Wiss. III, AB-13, Leipzig: Teubner, 141-237. | JFM

[95] Tzitzéica, G. 1901.- Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations, C.R. Acad. Sci. Paris 133, 918-920. | JFM

[96] Volkert, K. 1994.- Das Homöomorphieproblem insbesondere der 3-Mannigfaltigkeiten in der Topologie, Habilitationsschrift Univ. Heidelberg.

[97] Volkert, K. 1996a.- The early history of Poincaré's conjecture, in Henri Poincaré. Science et Philosophie, Greffe, Heinzmann, Lorenz ed., Berlin: Akademie Verlag, 241-250. | MR | Zbl

[98] Volkert, K. 1996b.- Le début de la pensée topologique chez Henri Poincaré, Séminaire Histoire de la Géométrie, Paris, 20-35.