Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials

Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials
[Loi de Weyl pour des résonances semi-classiques associées aux potentiels avec perturbations aléatoires]

Sjöstrand, Johannes

Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 136 (2014) , 150 p.

Le texte intégral des articles récents est réservé aux abonnés de la revue. Consultez l'article sur le site de la revue.

Résumé
Abstract

On considère des opérateurs de Schrödinger dont les potentiels ont leur supports dans un ensemble strictement convexe à bord lisse $𝒪 ⋐ ℝ^{n}$ . En désignant par $h$ le paramètre semi-classique, nous considérons des classes de petites perturbations aléatoires et montrons qu’avec une probabilité très proche de 1, le nombre de résonances dans des rectangles $[a, b] - i [0, c h^{\frac{2}{3}} [$ est égal (à un petit reste près) au nombre de valeurs propres dans $[a, b]$ de la réalisation de Dirichlet de l’opérateur dans $𝒪$ .

We consider semi-classical Schrödinger operators with potentials supported in a bounded strictly convex subset $𝒪$ of $ℝ^{n}$ with smooth boundary. Letting $h$ denote the semi-classical parameter, we consider classes of small random perturbations and show that with probability very close to 1, the number of resonances in rectangles $[a, b] - i [0, c h^{\frac{2}{3}} [$ , is equal to the number of eigenvalues in $[a, b]$ of the Dirichlet realization of the unperturbed operator in $𝒪$ up to a small remainder.

MR Zbl

DOI : 10.24033/msmf.446

Classification : 81U99, 35P20, 35P25
Keywords: Resonance, Weyl law, Random
Mot clés : résonance, loi de Weyl, aléatoire

@book{MSMF_2014_2_136__1_0,
     author = {Sj\"ostrand, Johannes},
     title = {Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials},
     series = {M\'emoires de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {136},
     year = {2014},
     doi = {10.24033/msmf.446},
     mrnumber = {3288114},
     zbl = {1304.35010},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/MSMF_2014_2_136__1_0/}
}

TY  - BOOK
AU  - Sjöstrand, Johannes
TI  - Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials
T3  - Mémoires de la Société Mathématique de France
PY  - 2014
IS  - 136
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/item/MSMF_2014_2_136__1_0/
DO  - 10.24033/msmf.446
LA  - en
ID  - MSMF_2014_2_136__1_0
ER  -

%0 Book
%A Sjöstrand, Johannes
%T Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials
%S Mémoires de la Société Mathématique de France
%D 2014
%N 136
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/item/MSMF_2014_2_136__1_0/
%R 10.24033/msmf.446
%G en
%F MSMF_2014_2_136__1_0

Sjöstrand, Johannes. Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 136 (2014), 150 p. doi : 10.24033/msmf.446. http://numdam.org/item/MSMF_2014_2_136__1_0/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Andersson & J. Sjöstrand – « Functional calculus for non-commuting operators with real spectra via an iterated Cauchy formula », J. Funct. An. 210 (2004), p. 341–375. | MR | Zbl

[2] M. V. Berry & K. E. Mount – « Semiclassical approximations in wave mechanics », Rep. Prog. Phys. 35 (1972), p. 315–397.

[3] J.-F. Bony, V. Bruneau & G. Raikov – « Counting function of characteristic values and magnetic resonances », http://arxiv.org/abs/1109.3985. | MR | Zbl

[4] W. Bordeaux Montrieux & J. Sjöstrand – « Almost sure Weyl asymptotics for non-self-adjoint elliptic operators on compact manifolds », Ann. Fac. Sci. Toulouse 19 (2010), p. 567–587. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[5] G. Carron – « Déterminant relatif et la fonction Xi », Amer. J. Math. 124 (2002), p. 307–352. | MR | Zbl

[6] T. J. Christiansen – « Schrödinger operators and the distribution of resonances in sectors », Anal. PDE 5 (2012), p. 961–982. | MR | Zbl

[7] E. B. Davies, P. Exner & J. Lipovský – « Non-Weyl asymptotics for quantum graphs with general coupling conditions », J. Phys. A 43 47 (2010), 474013, 16 pp. | MR | Zbl

[8] E. B. Davies & A. Pushnitski – « Non-Weyl resonance asymptotics for quantum graphs », Anal. PDE 4 (2011), p. 729–756. | MR | Zbl

[9] T. Dinh & D. Vu – « Asymptotic number of scattering resonances for generic Schrödinger operators », http://arxiv.org/abs/1207.4273. | MR | Zbl

[10] P. Exner & J. Lipovský – « Non-Weyl resonance asymptotics for quantum graphs in a magnetic field », Phys. Lett. A 375 (2011), p. 805–807. | MR | Zbl

[11] M. V. Fédoriouk – Méthodes asymptotiques pour les équations différentielles ordinaires linéaires, Éditions Mir, 1987.

[12] R. Froese – « Asymptotic distribution of resonances in one dimension », J. Differential Equations 137 (1997), p. 251–272. | MR | Zbl

[13] I. Gohberg & J. Leiterer – Holomorphic operator functions of one variable and applications, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 192, Birkhäuser Verlag, 2009. | MR | Zbl

[14] I. C. Gohberg & M. G. Krein – Introduction to the theory of linear non-selfadjoint operators, Translations of mathematical monographs, vol. 18, Amer. Math. Soc., 1969. | MR | Zbl

[15] T. Hargé & G. Lebeau – « Diffraction par un convexe », Inv. Math. 118 (1994), p. 161–196. | MR | EuDML | Zbl

[16] B. Helffer & J. Sjöstrand – « Résonances en limite semi-classique », Mém. Soc. Math. France (N.S.) 24-25 (1986). | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[17] V. Ivrii – « Sharp spectral asymptotics for operators with irregular coefficients. II. Domains with boundaries and degenerations », Comm. Partial Differential Equations 28 (2003), p. 103–128. | MR | Zbl

[18] A. Melin & J. Sjöstrand – « Bohr-Sommerfeld quantization condition for non-selfadjoint operators in dimension 2 », Astérique 284 (2003), p. 181–244. | MR | Zbl

[19] R. B. Melrose – « Polynomial bound on the distribution of poles in scattering by an obstacle, (art. No. 3) », in Journées équations aux dérivées partielles, 1984, 8 pp. | EuDML

[20] S. Nakamura, P. Stefanov & M. Zworski – « Resonance expansions of propagators in the presence of potential barriers », J. Funct. Anal. 205 (2003), p. 180–205. | MR | Zbl

[21] T. Regge – « Analytic properties of the scattering matrix », Il Nuovo Cimento 8 (1958), p. 671–679. | MR | Zbl

[22] B. Simon – « Resonances in one dimension and Fredholm determinants », J. Funct. Anal. 178 (2000), p. 396–420. | MR | Zbl

[23] —, « The definition of molecular resonance curves by the method of exterior complex scaling », Physics Lett. 71A 2,3 (30 April 1979), p. 211–214.

[24] J. Sjöstrand – « Lectures on resonances », http://math.u-bourgogne.fr/IMB/sjostrand/Coursgbg.pdf. | Zbl

[25] —, « Geometric bounds on the density of resonances for semiclassical problems », Duke Math. J. 60 (1990), p. 1–57. | MR | Zbl

[26] —, « Resonances for bottles and trace formulae », Math. Nachr. 221 (2001), p. 95–149. | MR | Zbl

[27] —, « Eigenvalue distribution for non-self-adjoint operators with small multiplicative random perturbations », Ann. Fac. Sci. Toulouse 18 (2009), p. 739–795, http://arxiv.org/abs/0802.3584. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[28] —, « Counting zeros of holomorphic functions of exponential growth », J. pseudodifferential operators and applications 1 (2010), p. 75–100, http://arxiv.org/abs/0910.0346. | MR | Zbl

[29] —, « Eigenvalue distribution for non-self-adjoint operators on compact manifolds with small multiplicative random perturbations », Ann. Fac. Sci. Toulouse 19 (2010), p. 277–301. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[30] J. Sjöstrand & M. Zworski – « Complex scaling and the distribution of scattering poles », J. Amer. Math. Soc. 4 (1991), p. 729–769. | MR | Zbl

[31] —, « Estimates on the number of scattering poles near the real axis for strictly convex obstacles », Ann. Inst. Fourier 43 (1993), p. 769–790. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[32] —, « The complex scaling method for scattering by strictly convex obstacles », Ark. Mat. 33 (1995), p. 135–172. | MR | Zbl

[33] —, « Asymptotic distribution of resonances for convex obstacles », Acta Math. 183 (2000), p. 191–253. | Zbl

[34] —, « Elementary linear algebra for advanced spectral problems », Ann. Inst. Fourier 57 (2007), p. 2095–2141. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[35] —, « Fractal upper bounds on the density of semiclassical resonances », Duke Math J. 137 (2007), p. 381–459. | MR | Zbl

[36] P. Stefanov – « Sharp upper bounds on the number of the scattering poles », J. Funct. Anal. 231 (2006), p. 111–142. | MR | Zbl

[37] G. Vodev – « Sharp bounds on the number of scattering poles in even-dimensional spaces », Duke Math. J. 74 (1994), p. 1–17. | MR | Zbl

[38] A. Voros – « Spectre de l’équation de Schrödinger et méthode BKW », Publications Mathématiques d’Orsay, Université de Paris-Sud (1982), 75 pp., http://mathdoc.emath.fr/PMO/PDF/V_VOROS-167.pdf. | MR | Zbl

[39] L. Zieliński – « Semiclassical distribution of eigenvalues for elliptic operators with Hölder continuous coefficients. I. Non-critical case », Colloq. Math. 99 (2004), p. 157–174. | MR | Zbl

[40] M. Zworski – « Distribution of poles for scattering on the real line », J. Funct. Anal. 73 (1987), p. 277–296. | MR | Zbl

[41] —, « Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles », Duke Math. J. 59 (1989), p. 311–323. | MR | Zbl

[42] —, « Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles of radial potentials », J. Funct. Anal. 82 (1989), p. 370–403. | MR | Zbl

Cité par Sources :