Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs

Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs
[Grassmannian functors, Krull filtration and functor cohomology]

Djament, Aurélien

Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 111 (2007) , 248 p.

Résumé
Abstract

Let $ℱ$ be the category of functors between vector spaces over a finite field. The grassmannian functor categories are obtained by replacing the source of this category by the category of pairs formed by a vector space and an element of one of its grassmannians. These categories have a very rich algebraic structure ; we study in particular their finite objects and their homological properties. We give so a very general vanishing property in functor cohomology, which we apply to the stable $K$ -theory of finite fields : we obtain a generalization of the theorem of Betley-Suslin which expresses certain extension groups of $G L_{\infty}$ -modules in term of functor cohomology. Our second application of the grassmannian functor categories concerns the Krull filtration of the category $ℱ$ . We give a conjectural description of this filtration, of which we explore powerful implications. With the help of tools due to G. Powell, we show a weak form of this conjecture, in the case where the basis field has two elements. As a consequence, we establish the noetherian character of new functors.

Soit $ℱ$ la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini. Les catégories de foncteurs en grassmanniennes sont obtenues en remplaçant la source de cette catégorie par la catégorie des couples formés d’un espace vectoriel et d’un élément d’une de ses grassmanniennes. Ces catégories possèdent une très riche structure algébrique ; nous étudions notamment leurs objets finis et leurs propriétés homologiques. Nous établissons ainsi une propriété très générale d’annulation en cohomologie des foncteurs, que nous appliquons à la $K$ -théorie stable des corps finis : nous obtenons une généralisation du théorème de Betley-Suslin exprimant des groupes d’extensions entre $G L_{\infty}$ -modules en terme de cohomologie des foncteurs. Notre seconde application des catégories de foncteurs en grassmanniennes a trait à la filtration de Krull de la catégorie $ℱ$ . Nous en donnons une description conjecturale, dont nous examinons les conséquences, très puissantes, sur la structure de la catégorie $ℱ$ . À l’aide d’outils dus à G. Powell, nous démontrons une forme faible de cette conjecture, dans le cas où le corps de base a deux éléments. Nous utilisons ce résultat pour établir le caractère noethérien de nouveaux foncteurs.

Zbl | 1 citation dans Numdam

DOI : 10.24033/msmf.423

Classification : 16P60, 18A25, 18G15, 20C33, 16E20, 16P40, 18A40, 18C15, 18D15, 18E35, 18G05, 19D99, 55S10
Keywords: Catégories de foncteurs, algèbre homologique, filtration de Krull, groupes linéaires sur les corps finis, grassmanniennes, objets noethériens, $K$-théorie stable, représentations modulaires, foncteur différence et filtration polynomiale, (co)monades
Mot clés : Functors categories, homological algebra, Krull filtration, linear groups over finite fields, grassmannians, noetherian objects, stable $K$-theory, modular representations, difference functor and polynomial filtration, (co)monads

@book{MSMF_2007_2_111__1_0,
     author = {Djament, Aur\'elien},
     title = {Foncteurs en grassmanniennes, filtration de {Krull} et cohomologie des foncteurs},
     series = {M\'emoires de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {111},
     year = {2007},
     doi = {10.24033/msmf.423},
     zbl = {1170.18001},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/MSMF_2007_2_111__1_0/}
}

TY  - BOOK
AU  - Djament, Aurélien
TI  - Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs
T3  - Mémoires de la Société Mathématique de France
PY  - 2007
IS  - 111
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/item/MSMF_2007_2_111__1_0/
DO  - 10.24033/msmf.423
LA  - en
ID  - MSMF_2007_2_111__1_0
ER  -

%0 Book
%A Djament, Aurélien
%T Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs
%S Mémoires de la Société Mathématique de France
%D 2007
%N 111
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/item/MSMF_2007_2_111__1_0/
%R 10.24033/msmf.423
%G en
%F MSMF_2007_2_111__1_0

Djament, Aurélien. Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 111 (2007), 248 p. doi : 10.24033/msmf.423. http://numdam.org/item/MSMF_2007_2_111__1_0/

Bibliographie
Cité par

[Aus66] M. Auslander – “Coherent functors”, in Proc. Conf. Categorical Algebra La Jolla, 1965 , Springer, 1966, p. 189–231. | MR | Zbl

[BB69] M. Barr & J. Beck – “Homology and standard constructions”, in Sem. on Triples and Categorical Homology Theory (ETH, Zürich, 1966/67), Springer, 1969, p. 245–335. | MR

[Bet99] S. Betley – “Stable $K$ -theory of finite fields”, $K$ -Theory 17 1999 , p. 103–111. | MR | Zbl

[CR87] C. W. Curtis & I. Reiner – Methods of representation theory. Vol. II, Pure and Applied Mathematics (New York), John Wiley & Sons Inc., 1987. | MR

[CR90] —, Methods of representation theory. Vol. I, Wiley Classics Library, John Wiley & Sons Inc., 1990, reprint de l’édition originale de 1981.

[Dja06a] A. Djament – “Catégories de foncteurs en grassmanniennes”, 2006, arXiv: math.AT/0610598. | MR

[Dja06b] —, “Catégories de foncteurs en grassmanniennes et filtration de Krull”, 2006, arXiv: math.RT/0611861.

[Dja06c] —, “Représentations génériques des groupes linéaires : catégories de foncteurs en grassmanniennes, avec applications à la conjecture artinienne”, thèse, Université Paris 13, 2006, disponible sur http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00119635.

[Dja07a] —, “Foncteurs de division et structure de $I^{\otimes 2} \otimes Λ^{n}$ dans la catégorie $ℱ$ ”, Ann. Inst. Fourier Grenoble 57 (2007), p. 1771–1823. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[Dja07b] —, “Le foncteur $V \mapsto 𝔽_{2} {[V]}^{\otimes 3}$ entre $𝔽_{2}$ -espaces vectoriels est noethérien”, 2007, arXiv: math.AT/0702667, soumis.

[Dwy80] W. G. Dwyer – “Twisted homological stability for general linear groups”, Ann. of Math. 2 111 (1980), p. 239–251. | MR | Zbl

[FFPS03] V. Franjou, E. M. Friedlander, T. Pirashvili & L. Schwartz – Rational representations, the Steenrod algebra and functor homology, Panoramas & Synthèses, vol. 16, Soc. Math. France, 2003. | MR | Zbl

[FFSS99] V. Franjou, E. M. Friedlander, A. Scorichenko & A. Suslin – “General linear and functor cohomology over finite fields”, Ann. of Math. 2 150 (1999), p. 663–728. | MR | EuDML | Zbl

[FLS94] V. Franjou, J. Lannes & L. Schwartz – “Autour de la cohomologie de Mac Lane des corps finis”, Invent. Math. 115 (1994), p. 513–538. | MR | EuDML

[Fra96] V. Franjou – “Extensions entre puissances extérieures et entre puissances symétriques”, J. Algebra 179 1996 , p. 501–522. | MR

[Gab62] P. Gabriel – “Des catégories abéliennes”, Bull. Soc. Math. France 90 (1962), p. 323–448. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[GJ81] L. Gruson & C. U. Jensen – “Dimensions cohomologiques reliées aux foncteurs ${lim_{\leftarrow}}^{i}$ ”, in Paul Dubreil and Marie-Paule Malliavin Algebra Seminar (Paris, 1980), Lecture Notes in Math., vol. 867, Springer, 1981, p. 234–294. | MR | Zbl

[GS05] G. Gaudens & L. Schwartz – “Un théorème d’annulation en cohomologie de Mac Lane”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 341 (2005), p. 119–122. | MR

[HLS93] H.-W. Henn, J. Lannes & L. Schwartz – “The categories of unstable modules and unstable algebras over the Steenrod algebra modulo nilpotent objects”, Amer. J. Math. 115 1993 , p. 1053–1106. | MR | Zbl

[HLS95] —, “Localizations of unstable $A$ -modules and equivariant mod $p$ cohomology”, Math. Ann. 301 (1995), p. 23–68. | MR | EuDML | Zbl

[Hum87] J. E. Humphreys – “The Steinberg representation”, Bull. Amer. Math. Soc. N.S. 16 (1987), p. 247–263. | MR | Zbl

[Jam78] G. D. James – The representation theory of the symmetric groups, Lecture Notes in Math., vol. 682, Springer, 1978. | MR

[Jan03] J. C. Jantzen – Representations of algebraic groups, second éd., Mathematical Surveys and Monographs, vol. 107, Amer. Math. Soc., 2003. | MR

[Jen72] C. U. Jensen – Les foncteurs dérivés de $lim_{\leftarrow}$ et leurs applications en théorie des modules, Lecture Notes in Math., vol. 254, Springer, 1972. | MR

[JP91] M. Jibladze & T. Pirashvili – “Cohomology of algebraic theories”, J. Algebra 137 1991 , p. 253–296. | MR | Zbl

[Kra01] H. Krause – “The spectrum of a module category”, Mem. Amer. Math. Soc. 149 (2001). | MR | Zbl

[Kuh94a] N. J. Kuhn – “Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. I”, Amer. J. Math. 116 1994 , p. 327–360. | MR | Zbl

[Kuh94b] —, “Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. II”, $K$ -Theory 8 (1994), p. 395–428. | MR | Zbl

[Kuh95] —, “Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. III”, $K$ -Theory 9 1995 , p. 273–303. | MR

[Kuh02] —, “A stratification of generic representation theory and generalized Schur algebras”, $K$ -Theory 26 (2002), p. 15–49. | MR | Zbl

[Lan92] J. Lannes – “Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un $p$ -groupe abélien élémentaire”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 1992 , p. 135–244, avec un appendice de Michel Zisman. | MR | EuDML

[Lod98] J.-L. Loday – Cyclic homology, 2nde éd., Grundlehren Math. Wiss., vol. 301, Springer, 1998, Appendice E par María O. Ronco, Chapitre 13 par l’auteur en collaboration avec T. Pirashvili. | Zbl

[LZ87] J. Lannes & S. Zarati – “Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation”, Math. Z. 194 1987 , p. 25–59. | MR | EuDML | Zbl

[LZ95] —, “Théorie de Smith algébrique et classification des $H^{*} V$ - $𝒰$ -injectifs”, Bull. Soc. Math. France 123 (1995), p. 189–223. | MR | EuDML

[Mit72] B. Mitchell – “Rings with several objects”, Adv. Math. 8 1972 , p. 1–161. | MR | Zbl

[Mit86] S. Mitchell – “On the Steinberg module, representations of the symmetric groups, and the Steenrod algebra”, J. Pure Appl. Algebra 39 (1986), p. 275–281. | MR | Zbl

[ML57] S. Mac Lane – “Homologie des anneaux et des modules”, in Colloque de topologie algébrique, Louvain, 1956, Georges Thone, 1957, p. 55–80. | MR

[ML63] —, Homology, Grundlehren Math. Wiss., vol. 114, Academic Press Inc., 1963. | Zbl

[ML71] —, Categories for the working mathematician, Grad. Texts in Math., vol. 5, Springer, 1971. | Zbl

[Pir97] L. Piriou – “Sous-objets de $\bar{I} \otimes Λ^{n}$ dans la catégorie des foncteurs entre $𝐅_{2}$ -espaces vectoriels”, J. Algebra 194 1997 , p. 53–78. | MR

[Pir02] T. Pirashvili – “Polynomial functors over finite fields (after Franjou, Friedlander, Henn, Lannes, Schwartz, Suslin)”, in Séminaire Bourbaki, Vol. 1999/2000, Astérisque, vol. 276, Soc. Math. France, 2002, p. 369–388. | MR | EuDML | Numdam

[Pir03] —, “André-Quillen homology via functor homology”, Proc. Amer. Math. Soc. 131 2003 , p. 1687–1694. | MR | Zbl

[Pop73] N. Popescu – Abelian categories with applications to rings and modules, London Math. Soc. Monogr. Ser., vol. 3, Academic Press, 1973. | MR | Zbl

[Pow98a] G. M. L. Powell – “The Artinian conjecture for $I^{\otimes 2}$ ”, J. Pure Appl. Algebra 128 1998 , p. 291–310, avec un appendice de L. Schwartz. | MR | Zbl

[Pow98b] —, “Polynomial filtrations and Lannes’ $T$ -functor”, $K$ -Theory 13 (1998), p. 279–304. | MR | Zbl

[Pow98c] —, “The structure of indecomposable injectives in generic representation theory”, Trans. Amer. Math. Soc. 350 1998 , p. 4167–4193. | MR | Zbl

[Pow00a] —, “On Artinian objects in the category of functors between $𝐅_{2}$ -vector spaces”, in Infinite length modules (Bielefeld, 1998), Trends Math., Birkhäuser, 2000, p. 213–228. | MR | Zbl

[Pow00b] —, “The structure of the tensor product of $𝐅_{2} [-]$ with a finite functor between $𝐅_{2}$ -vector spaces”, Ann. Inst. Fourier Grenoble 50 (2000), p. 781–805. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[Pow01] —, “The tensor product theorem for $\tilde{\nabla}$ -nilpotence and the dimension of unstable modules”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 130 (2001), p. 427–439. | MR | Zbl

[Pow06] —, “Endomorphisms of $H^{*} K (V, n; 𝔽_{2})$ in the category of unstable modules”, Math. Z. 254 (2006), p. 55–115. | MR | Zbl

[PR02] T. Pirashvili & B. Richter – “Hochschild and cyclic homology via functor homology”, $K$ -Theory 25 (2002), p. 39–49. | MR | Zbl

[PS98] L. Piriou & L. Schwartz – “Extensions de foncteurs simples”, $K$ -Theory 15 1998 , p. 269–291. | MR

[PW92] T. Pirashvili & F. Waldhausen – “Mac Lane homology and topological Hochschild homology”, J. Pure Appl. Algebra 82 (1992), p. 81–98. | MR | Zbl

[Sch94] L. Schwartz – Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan’s fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Math., University of Chicago Press, 1994. | MR | Zbl

[Ves05] C. Vespa – “La catégorie $ℱ_{quad}$ des foncteurs de Mackey généralisés pour les formes quadratiques sur $𝔽_{2}$ ”, thèse, Université Paris 13, 2005, http://tel.ccsd.cnrs.fr/tel-00011892.

[Ves08] —, “Generic representations of orthogonal groups: the functor category $ℱ_{quad}$ ”, J. Pure Appl. Algebra 212 (2008), p. 1472–1499. | MR | Zbl

Cité par Sources :