Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes

Dehon, François-Xavier

Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 98 (2004) , 144 p.

Résumé
Abstract

Nous montrons dans ce mémoire que la $MU$ -cohomologie continue des espaces fonctionnels de source le classifiant $B π$ d’un groupe de Lie compact commutatif et de but le pro- $p$ -complété d’un espace dont la cohomologie à coefficients dans les entiers $p$ -adiques est sans torsion est l’image de la $MU$ -cohomologie complétée en $p$ de l’espace au but par un foncteur $T_{B π}$ analogue au foncteur $T$ associé à la cohomologie modulo $p$ du classifiant du groupe cyclique d’ordre $p$ .

We show in this paper that the continuous $MU$ -cohomology of the mapping spaces from the classifying space $B π$ of some commutative compact Lie group to the pro- $p$ -completion of a space whose $p$ -adic cohomology is torsion free is the image of the $p$ -completed $MU$ -cohomology of the target space by a functor $T_{B π}$ analogous to the functor $T$ associated to the classifying space of the cyclic group of order $p$ .

MR Zbl

DOI : 10.24033/msmf.411

Classification : 55Q05, 18C15, 55N22, 55R37, 55S25, 55Uxx
Mot clés : Algèbres sur une monade, algèbres instables, classes d’homotopie d’applications, cobordisme complexe, espaces classifiants, espaces fonctionnels, espaces profinis, foncteur $\mathrm{T}$, résolutions
Keywords: Classifying spaces, complex cobordism, homotopy classes of maps, mapping spaces, profinite spaces, resolutions, $\mathrm{T}$-functor, triple algebras, unstable algebras

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Dehon, François-Xavier. Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 98 (2004), 144 p. doi : 10.24033/msmf.411. http://numdam.org/item/MSMF_2004_2_98__1_0/

Bibliographie
Cité par

[1] J.F. Adams – Lectures on Generalized Cohomology Theories, Lect. Notes in Math., vol. 99, Springer, 1969. | MR | Zbl

[2] —, Stable Homotopy and Generalized Homology, University of Chicago Press, 1974.

[3] M. Artin & B. Mazur – Etale Homotopy, Lect. Notes in Math., vol. 100, Springer, 1969. | MR | Zbl

[4] M. Barr & J. Beck – « Homology and standard constructions », in Seminar on triples and Categorical Homology Theory, Lect. Notes in Math., vol. 80, Springer, 1969, p. 245–335. | MR | Zbl

[5] M. Bendersky, E.B. Curtis & H.R. Miller – « The Unstable Adams Spectral Sequence for Generalized Homology », Topology 3 (1978), p. 229–248. | MR | Zbl

[6] J.M. Boardman – « Stable Operations in Generalized Cohomology », in Handbook of algebraic topology, 1995, p. 585–686. | MR | Zbl

[7] —, « Conditionally Convergent Spectral Sequences », Contemp. Math., vol. 239, 1999, p. 49–84. | MR | Zbl

[8] J.M. Boardman, D.C. Johnson & W.S. Wilson – « Unstable Operations in Generalized Cohomology », in Handbook of algebraic topology, 1995, p. 687–828. | MR | Zbl

[9] F. Borceux – Handbook of categorical algebra, 2. Categories and structures, Cambridge University Press, 1994. | MR | Zbl

[10] Bourbaki – Algèbre, chap. X, Masson, 1980.

[11] A.K. Bousfield – « Nice homology coalgebra », Trans. Amer. Math. Soc. 148 (1970), p. 473–489. | MR | Zbl

[12] —, « On the homology spectral sequence of a cosimplicial space », Amer. J. Math. 109 (1987), p. 361–394. | MR | Zbl

[13] A.K. Bousfield & D.M. Kan – Homotopy Limits, Completions, and Localizations, Lect. Notes in Math., vol. 304, Springer, 1972. | MR | Zbl

[14] H. Cartan & S. Eilenberg – Homological Algebra, Princeton University Press, 1956. | MR | Zbl

[15] P.E. Conner & L. Smith – « On the complex bordism of finite complexes », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 37 (1969), p. 117–221. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[16] F.-X. Dehon & J. Lannes – « Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un groupe de Lie compact commutatif », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 89 (1999), p. 127–177. | MR | EuDML | Numdam

[17] A. Dress – « Zur Spectralsequenz von Faserungen », Invent. Math. 3 (1967), p. 172–178. | MR | EuDML | Zbl

[18] E. Dror Farjoun & J. Smith – « A Geometric Interpretation of Lannes’ Functor $T$ », in Théorie de l’homotopie, Astérisque, vol. 191, 1990, p. 87–95. | MR | Zbl | Numdam

[19] W.G. Dwyer & J. Splalinski – « Homotopy Theories and Model Categories », in Handbook of algebraic topology, 1995, p. 73–126. | MR | Zbl

[20] P.G. Goerss & J.F. Jardine – Simplicial Homotopy Theory, Progress in Math., vol. 174, Birkäuser, 1999. | MR | Zbl

[21] N. Kuhn & M. Winstead – « On the Torsion in the Cohomology of Certain Mapping Spaces », Topology 35 (1996), p. 875–881. | MR | Zbl

[22] P.S. Landweber – « Coherence, Flatness and Cobordism of Classifying Spaces », in Proc. adv. Study Inst. alg. Topol., 1970, p. 256–269. | MR | Zbl

[23] J. Lannes – « Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un $p$ -groupe abélien élémentaire », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 75 (1992), p. 135–244. | MR | EuDML

[24] —, « Divers aspects des opérations de Steenrod », in Journée en l’honneur de Henri Cartan, Journée Annuelle, Société Mathématique de France, 1997, p. 18–27. | MR

[25] S. Mac Lane – Categories for the Working Mathematician, Springer, 1971. | MR | Zbl

[26] P. May – Simplicial Objects in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1967. | MR

[27] —, The geometry of iterated loop spaces, Lect. Notes in Math., vol. 271, Springer, 1972. | Zbl

[28] F. Morel – « Quelques remarques sur la cohomologie modulo $p$ des pro- $p$ -espaces et les résultats de Jean Lannes concernant les espaces fonctionnels $𝐡𝐨𝐦 (B V, X)$ », Ann. scient. Éc. Norm. Sup. $4^{e}$ série 26 (1993), p. 309–360. | EuDML

[29] —, « Ensembles profinis simpliciaux et interprétation géométrique du foncteur $T$ », Bull. Soc. math. France 124 (1996), p. 347–373. | MR | EuDML

[30] D.G. Quillen – Homotopical Algebra, Lect. Notes in Math., vol. 43, Springer, 1967. | MR | Zbl

[31] —, « An Application of Simplicial Profinite Groups », Comment. Math. Helv. 44 (1969), p. 45–60. | MR | EuDML | Zbl

[32] D.C. Ravenel & W.S. Wilson – « The Hopf ring for complex cobordism », J. Pure Appl. Algebra 9 (1976), p. 241–280. | MR | Zbl

[33] D.C. Ravenel, W.S. Wilson & N. Yagita – « Brown-Peterson cohomology from Morava $K$ -theory », $K$ -Theory 15 (1998), p. 147–199. | MR | Zbl

[34] D. Rector – « Steenrod operations in the Eilenberg-Moore spectral sequence », Comment. Math. Helv. 45 (1970), p. 540–552. | MR | EuDML | Zbl

[35] L. Schwartz – Unstable Modules over the Steenrod Algebra and Sullivan’s Fixed Point Set Conjecture, University of Chicago Press, 1994. | MR | Zbl

[36] G. Segal – « Classifying Spaces and Spectral Sequences », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 34 (1968), p. 105–112. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[37] D. Sullivan – « Genetics of Homotopy Theory and the Adams Conjecture », Ann. of Math. 100 (1974), p. 1–79. | MR | Zbl

[38] T. tom Dieck – « Bordism of $G$ -manifolds and integrality theorems », Topology 9 (1970), p. 345–358. | MR

[39] C.W. Wilkerson – « lambda-ring, binomial domains, and vector bundles over $ℂ P^{\infty}$ », Comm. Algebra 10 (1982), p. 311–328. | MR | Zbl

[40] W.S. Wilson – « The $Ω$ -spectrum for Brown-Peterson Cohomology, Part I », Comment. Math. Helv. 48 (1973), p. 45–55. | MR | EuDML | Zbl

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