Conception et analyse de la forme limite d'une famille de coefficients statistiques d'association entre variables relationnelles. 1ère partie

Lerman, Israël-César

Mathématiques informatique et sciences humaines, Tome 118 (1992), pp. 33-52.

Cette étude offre une large vision de synthèse prospective : mais aussi, des résultats techniques précis sur une famille très générale que nous avons élaborée de coefficients d'association entre variables descriptives relationnelles à partir de leur observation empirique sur un ensemble O d'objets élémentaires. Un même coefficient est obtenu à partir d'une forme de normalisation statistique par rapport à une hypothèse d'absence de liaison, d'un indice brut d'association. Ce dernier suppose une représentation de type ensembliste des deux variables relationnelles à comparer. Le cas où les deux variables sont unaires introduit et pose clairement le problème. Nous étudions particulièrement le cas où les deux relations induites par les deux variable sont binaires. Ce cas est d'un extrême utilité en analyse des données qualitatives. La normalisation suppose le centrage et la réduction par l'écart type de l'indice brut aléatoire. C'est une expression particulière de la variance de ce dernier qui permet de mettre en évidence la forme limite du coefficient d'association dans des conditions qualitatives nominales ou ordinales. L'expression limite permet de se rendre compte d'un point de vue purement formel de la nature de la normalisation ainsi effectuée. Nous abordons ensuite un cas assez général de recherches actuelles et développements futurs, en situant la place de ce travail dans l'aspect «classification hiérachique» de notre approche en analyse des données.

This study gives a large synthesis view and prospective on a very general family of association coefficients between descriptive relational variables, that we have elaborated. On the other hand, very accurate technical results are provided. We assume the empirical observation of the descriptive variables on a set $O$ of elementary objects. A given coefficients is obtained by a statistical normalization of a raw association index with respect to a hypothesis of no relation (or independence). The raw index $s$ is conceived from a set theoretic representation of the two relational variables to be compared. The case where the two variables associated are unary, provides a clear setting up of the comparison problem. We particularly analyse the case where the two relation on $O$, induced by the two descriptive variables to be compared are binary. The latter case is extremely useful in qualitative data analysis. The normalization of the raw index $s$ takes into account the distribution of the random raw index $S$ under an independence hypothesis. The reduction of the “centred” index [$s-E\left(S\right)$ where $E$ denotes the mathematical expecitation] is done with the standard deviation $\sqrt{var\left(S\right)}$. It is specific expression of the variance $var\left(S\right)$, which enables to set up the limiting form of an association coefficient, under natural asymptotic conditions. Then, we carefully study the very important cases where the descriptive variables are nominal or ordinal qualitative. The limit expression permits to realize the nature of the normalization, from a purely formal point of view. Next, we take up the study of the general case of the comparison of two $q$-ary relations. Accurate results are given in the latter context. Finally, we express our current research and their future developement ; more particularly by situating the place of this work in our approach of data analysis by means of hierarchical classification.

[1] Arabie P. and Hubert L.J., (1992), "Combinatorial Data Analysis" 1992, Annual Review of Psychology (to appear). | MR

[2] Chah S., (1984), "Agrégation des préordonnances", Etude F-063, Centre Scientifique IBM de Paris.

[3] Chah S., (1985), "Critères de classification sur des données hétérogènes ", Proceedings of the fourth international symposium on data analysis and informatics, edited by E. Diday and al, North Holland, 1986. | MR | Zbl

[4] Daniels H.E., (1944), "The relation between measures of corrélation in the universe of sample permutations", Biometrika, vol. 33,129-135. | MR | Zbl

[5] Daude F., (1990), "Normalisation sous hypothèse d'absence de lien ", Publication interne Irisa, Rennes, n°°549, septembre 1990, 42 pages.

[6] Efron B., (1986), "The Jasknife, the Boot-strap and other resampling plans", CBMS-NSF régional conférence séries in applied mathematics. | Zbl

[7] Giakoumakis V. et Monjardet B., (1987), "Coefficients d'accord entre deux préordres totaux", Statistique et Analyse des Données, 12, pp. 46-99. | Numdam | MR

[8] Goodman L.A. and Kruskal W.H., (1954), "Measures of association for cross classifications", Journal of the American Statistical Association, Vol. 49, pp. 732-764. | Zbl

[9] Goodman L.A. and Kruskal W.H., (1963), "Measures of association for cross classifications III : Approximate sampling theory", Vol. 58, pp. 310-364. | MR

[10] Hajek J., (1961), "Some extensions of the Wald-Wolfowitz-Noether theorem", Ann. Math. Stat. 32, pp. 506-523. | MR | Zbl

[11] Hubert L.J., (1983), "Inference procédures for the évaluation and comparison of proximity matrices", in Numerical Taxonomy, Ed. J. Felsenstein, NATO ASI Séries, Springer Verlag.

[12] Hubert L.J., (1987), "Assignment methods in combinatorial data analysis ", Marcel Decker, New York, 1987. | MR | Zbl

[13] Kendall M.G., (1970), "Rank corrélation methods", Charles Griffin, fourth édition (first édition in 1948). | Zbl

[14] Lecalvé G., (1976), "Un indice de similarité pour des variables de types quelconques", Statistique et Analyse des Données, 0 1 -02, pp. 39-47.

[15] Lerman I.C. (1973), "Etude distributionnelle de statistiques de proximité entre structures finies de même type ; application à la classification automatique", Cahiers du Buro, n° 19, Paris.

[16] Lerman I.C., (1976), "Formal analysis of a général notion of proximity between variables", Congrès Européen des Statisticiens, Grenoble, Sept. 1976, North Holland (1977). | MR | Zbl

[17] Lerman I.C., (1981), "Classification et analyse ordinale des données ", Paris, Dunod. | MR | Zbl

[18] Lerman I.C., (1983), "Association entre variables qualitatives ordinales nettes ou floues", Statistique et Analyse des données, vol. 8 n°7, pp. 41-73. | Numdam | MR | Zbl

[19] Lerman I.C., (1984), "Justification et validité statistique d'une échelle [0,1] de fréquence mathématique pour une structure de proximité sur un ensemble de variables observées", Publ. Inst. Stat. Univ. Paris XXIX, fasc. 3-4, pp. 27-57. | MR | Zbl

[20] Lerman I.C., (1987a), "Construuction d'un indice de similarité entre objets décrits par des variables d'un type quelconque. Application au problème du consensus en classification", Rev. Statistique Appliquée, XXXV (2), pp. 39-60. | Numdam | MR | Zbl

[21] Lerman I.C. (1987b), "Analyse de la forme limite de coefficients statistiques d'association entre variables relationnelles", Rapport de recherche n° 702, Inria, Juillet 1987.

[22] Lerman I.C., (1987c), "Maximisation de l'association entre deux variables qualitatives ordinales", Rev. math. Sci. hum., 25ème année, n° 100, 1987, pp. 49-56. | Numdam | MR | Zbl

[23] Lerman I.C., (1988), "Structure maximale pour la somme des carrés d'une contingence aux marges fixées; une solution algorithmique programmée", Rairo, vol. 22, n°2, pp. 83 à 136. | Numdam | MR | Zbl

[24] Lerman I.C., (1991), "Foundations of the Likelihood Linkage Analysis (LLA) Classification method", Applied Stochastic Models and Data Analysis, vol. 7, pp. 63-76 (J. Wiley). | MR | Zbl

[25] Lerman I.C. et Ghazzali N., (1991), "Quoi retenir d'un arbre de classification ? Un essai en quantification d'image numérisée", Rapport de recherche n ° 1386, Inria, Janvier 1991.

[26] Lerman I.C., Gras R. et Rostam H., (1981), "Elaboration et évaluation d'un indice d'implication pour des données binaires" I et II ; I : Math. Sci. hum., 19ème année, n° 74, 1981 pp. 5-35, II : Math. Sc. hum., 19ème année, n° 75, 1981, pp. 5-47. | Numdam | MR | Zbl

[27] Lerman I.C. et Peter Ph., (1985), "Organisation et consultation d'une banque de petites annonces" à partir d'une méthode de classification hiérarchique en parallèle", Journées Internationales Analyse des Données et Informatique IV, Octobre 1985, Versailles, North Holland (1986), pp. 121-136.

[28] Lerman I.C. et Peter Ph., (1989), "Classification of concepts described by taxonomic preordonnance variables with multiple choice. Application to the structuration of a species set of phebotomine" in Data Analysis, Learning symbolic and numerical knowledge, edited by E. Diday, Inria, Nova Science Publishers, (1989), pp. 73-87.

[29] Mantel N., (1967), "Détection of disease clustering and a generalized régression approach", Cancer Research, vol. 27, n° 2, pp. 209-220.

[30] Messatfa H., (1990), "Unification relationnelle des critères et structures optimales des tables de contingences", thèse de doctorat de l' Université Pierre et Marie Curie, 5 mars 1990.

[31] Mielke W., (1979), "On asymptotic non normality of null distributions of MRPP Statistics", Communications in Statistics, Theory and Methods, A8 (15), pp. 1541-1550. | Zbl

[32] Noether G., (1949), "On a theorem by Wald and Wolfowitz", Ann. Math. Stat. vol. 20, pp. 455-458. | MR | Zbl

[33] Ouali-Allah M., (1991a), "Analyse en préordonnances des données qualitatives. Applications aux données numériques et symboliques", Thèse de l'Université de Rennes I, 5 décembre 1991, Rennes, Université de Rennes I.

[34] Ouali-Allah M., (1991b), "Avare : un programme de calcul des associations entre variables relationnelles", Publication interne Irisa, n° 591, juin 1991, 32 pages.

[35] Peter Ph. (1987), "Méthodes de classification hiérarchique et problèmes de structuration et de recherche d'informations, assistées par ordinateur", thèse de l'Université de Rennes I, 6 mars 1987, Rennes, Université de Rennes I.

[36] Suppes P. and Zinnes J.L., (1963), "Basic measurement theory" in Handbook of mathematical psychology, Eds Bush. Luce, Galanter, New York, J. Wiley, pp. 2-76.

[37] Tarski A., (1954), "Contribution to the theory of models", I, II. Indagationes Mathematicae, 16, pp. 572-588. | MR | Zbl

[38] Wald A. and Wolfowitz J., (1944), "Statistical tests based on permutations of the observations", Ann. Math. Stat., vol. 15, pp. 358-372. | MR | Zbl