Conditions nécessaires d’existence des (k,r,s,)-plans
Mathématiques et sciences humaines, Tome 41 (1972), pp. 27-30.

Les (k,r,s)-plans (définis ci-dessous) ont été introduits dans [1]. Leur étude englobe celle des plans affines et projectifs finis, des familles de carrés latins deux à deux orthogonaux, de certains plans équilibrés et partiellement équilibrés 2 . La question de leur existence est très mal connue, celle de leur unicité n’a pratiquement pas été abordée. Nous nous proposons de montrer le théorème suivant : pour qu’il existe un (k,r,s)-plan il est nécessaire que : k(k-1)(r-1) s,r(k-1)(r-1) s,kr(k-1)(r-1) s(k+r-s-1) soient entiers.

The (k,r,s) planes (defined below) were introduced in [1]. Their study encompasses that of finite affine and projective planes, of the sets of two by two orthogonal latin squares, of certain equilibrated and partially equilibrated planes. The question concerning their existence is little known; that of their uniqueness has practically not been touched on. We will try to demonstrate the following theorem : for a (k,r,s) plane to exist it is necessary that : k(k-1)(r-1) s,r(k-1)(r-1) s,kr(k-1)(r-1) s(k+r-s-1) be an integer.

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[1] Bose, R.C., "Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs", Pacific J. Math., 1963, pp. 389-420. | MR | Zbl

[2] Dembowski, P., Finite geometries, Berlin, Springer, 1968. | MR | Zbl

[3] Heuzé, G., "Contribution à l'étude des schémas d'association", Publ. Inst. Stat. Univ. Paris, 1966, pp. 1-59. | MR | Zbl

[4] Monjardet, B., "Combinatoire et algèbre : IV Plans en blocs, configurations géométriques planes", Math. Sci. hum., n° 23, 1969, pp. 37-50. | Numdam | MR