Méthode de Mahler, transcendance et relations linéaires : aspects effectifs

Adamczewski, Boris; Faverjon, Colin

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 2, pp. 557-573.

Cette note est consacrée aux aspects algorithmiques de la méthode de Mahler. Dans un travail récent, nous avons utilisé un résultat de Philippon pour montrer qu’étant donnés une fonction $q$-mahlérienne $f\left(z\right)$ appartenant à $\mathbf{k}\left\{z\right\}$, où $\mathbf{k}$ est un corps de nombres, et un nombre algébrique $\alpha$ dans le domaine d’holomorphie de $f$, le nombre $f\left(\alpha \right)$ est soit transcendant, soit dans $\mathbf{k}\left(\alpha \right)$. Nous décrivons ici un algorithme permettant de trancher cette alternative. Plus généralement, étant donnés plusieurs fonctions $q$-mahlériennes $f_1\left(z\right),\cdots ,f_r\left(z\right)$ et un nombre algébrique $\alpha$ dans le domaine d’holomorphie des $f_i$, nous montrons comment calculer explicitement une base de l’espace vectoriel des relations de dépendance linéaire sur $\mathbb{Q}$ entre les nombres $f_1\left(\alpha \right),\cdots ,f_r\left(\alpha \right)$.

This note is concerned with algorithmic aspects of Mahler’s method. In a recent paper, we used a result of Philippon to prove that, given a $q$-mahler function $f\left(z\right)$ in $\mathbf{k}\left\{z\right\}$, where $\mathbf{k}$ is a number field, and an algebraic number $\alpha$ in the domain of holomorphy of $f$, the number $f\left(\alpha \right)$ either belongs to the number field $\mathbf{k}\left(\alpha \right)$ or is transcendental. We describe here an algorithm which allows one to decide between these alternative facts. More generally, given several $q$-mahler functions $f_1\left(z\right),\cdots ,f_r\left(z\right)$ and an algebraic number $\alpha$ lying in the domain of holomorphy of each $f_i$, we show how to explicitly compute a basis of the vector space of the linear dependence relations over $\mathbb{Q}$ between the numbers $f_1\left(\alpha \right),\cdots ,f_r\left(\alpha \right)$.

Classification : 11J81, 11J72
Mot clés : Méthode de Mahler, transcendance, indépendance linéaire
Mots clés : Mahler’s method, transcendence, linear independence

[1] Adamczewski, Boris; Bell, Jason P. A problem about Mahler functions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci., Volume 17 (2017) no. 4, pp. 1301-1355 | MR | Zbl

[2] Adamczewski, Boris; Faverjon, Colin Méthode de Mahler : relations linéaires, transcendance et applications aux nombres automatiques, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 115 (2017) no. 1, pp. 55-90 | DOI | Zbl

[3] Bell, Jason P.; Coons, Michael Transcendence tests for Mahler functions, Proc. Am. Math. Soc., Volume 145 (2017) no. 3, p. 1061-107 | DOI | MR | Zbl

[4] Dumas, Philippe Récurrences mahlériennes, suites automatiques, études asymptotique Mathématiques, Université de Bordeaux I (France) (1993) (Ph. D. Thesis) | MR

[5] Philippon, Patrice Groupes de Galois et nombres automatiques, J. Lond. Math. Soc., Volume 92 (2015) no. 3, pp. 596-614 | DOI | MR | Zbl

[6] Randé, Bernard Equations fonctionnelles de Mahler et applications aux suites $p$-régulières, Université de Bordeaux I (France) (1992) (Ph. D. Thesis)