On Salem numbers, expansive polynomials and Stieltjes continued fractions

Guichard, Christelle; Verger-Gaugry, Jean-Louis

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 769-804.

Dans cet article on montre que pour tout polynôme $T$, de degré $m\ge 4$, à racines simples sans racine dans $\{\pm 1\}$, qui est soit de Salem soit cyclotomique, il existe un polynôme expansif unitaire $P\left(z\right)\in \mathbb{Z}\left[z\right]$ tel que $(z-1)T\left(z\right)=zP\left(z\right)-P^{*}\left(z\right)$. Cette équation d’association utilise le Théorème A (1995) de Bertin-Boyd d’entrecroisement de conjugués sur le cercle unité. L’ensemble des polynômes expansifs unitaires $P$ qui satisfont cette équation d’association contient un semi-groupe commutatif infini. Pour tout $P$ dans cet ensemble, caractérisé par un certain critère, un nombre de Salem est produit et codé par un $m$-uplet de nombres rationnels strictement positifs caractérisant la fraction continue de Stieltjes (SITZ) du quotient (alternant) d’Hurwitz correspondant à $P$. Ce codage est une réciproque à la Construction de Salem (1945). La structure de semi-groupe se transporte sur des sous-ensembles de fractions continues de Stieltjes, ainsi que sur des sous-ensembles de nombres de Garsia généralisés.

In this paper we show that for every Salem polynomial or cyclotomic polynomial, having simple roots and no root in $\{\pm 1\}$, denoted by $T$, deg $T=m\ge 4$, there exists a monic expansive polynomial $P\left(z\right)\in \mathbb{Z}\left[z\right]$ such that $(z-1)T\left(z\right)=zP\left(z\right)-P^{*}\left(z\right)$. This association equation makes use of Bertin-Boyd’s Theorem A (1995) of interlacing of conjugates on the unit circle. The set of monic expansive polynomials $P$ satisfying this association equation contains an infinite commutative semigroup. For any $P$ in this set, characterized by a certain criterion, a Salem number $\beta$ is produced and coded by an $m$-tuple of positive rational numbers characterizing the (SITZ) Stieltjes continued fraction of the corresponding Hurwitz quotient (alternant) of $P$. This coding is a converse method to the Construction of Salem (1945). Subsets of Stieltjes continued fractions, and subsets of generalized Garsia numbers, inherit this semigroup structure.

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