Pólya fields, Pólya groups and Pólya extensions: a question of capitulation

Leriche, Amandine

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 1, pp. 235-249.

Un corps de nombres $K$, d’anneau des entiers ${𝒪}_K$, est dit de Pólya lorsque la ${𝒪}_K$-algèbre des polynômes à valeurs entières sur ${𝒪}_K$ possède une base régulière. Ces corps sont caractérisés par le fait que les idéaux caractéristiques sont principaux. Par analogie avec le problème de plongement dans un corps de nombres de classes égal à un, lorsque $K$ n’est pas un corps de Pólya, on tente de le plonger dans un corps qui est de Pólya. Dans cet article nous étudions deux notions qui peuvent être considérées comme des mesures de l’obstruction pour un corps au fait d’être de Pólya  : les extensions de Pólya $L/K$ où les idéaux caractéristiques de $K$ étendus à $L$ deviennent principaux, et le groupe de Pólya qui est un sous-groupe du groupe de classes engendré par les idéaux caractéristiques.

A number field $K$, with ring of integers ${𝒪}_K$, is said to be a Pólya field when the ${𝒪}_K$-algebra formed by the integer-valued polynomials on ${𝒪}_K$ admits a regular basis. It is known that such fields are characterized by the fact that some characteristic ideals are principal. Analogously to the classical embedding problem in a number field with class number one, when $K$ is not a Pólya field, we are interested in the embedding of $K$ in a Pólya field. We study here two notions which can be considered as measures of the obstruction for $K$ to be a Pólya field: the Pólya extensions $L/K$ where the characteristic ideals of $K$ extended to $L$ become principal, and the Pólya group which is the subgroup of the class group generated by the classes of the characteristic ideals.

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