Modified proof of a local analogue of the Grothendieck conjecture

Abrashkin, Victor

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 1, pp. 1-50.

L’analogue local de la conjecture de Grothendieck peut être formulé comme une équivalence entre la catégorie des corps $K$ complets pour une valuation discrete à corps résiduel fini de caractéristique $p\ne 0$ et la catégorie des groupes de Galois absolus des corps $K$ munis de la filtration de ramification. Le cas des corps de caractéristique $0$ a été étudié par Mochizuki il y a quelques années. Ensuite, l’auteur de cet article a établi, par une méthode différente l’analogue de la conjecture de Grothendieck dans le cas $p>2$ (mais $K$ de caractéristique quelconque). Nous proposons ici une modification de cette approche qui inclut le cas $p=2$ dans la preuve, contient des simplifications considérables et remplace le groupe de Galois par son pro-$p$-quotient maximal. Une attention particulière est accordée au procédé de la reconstruction de l’isomorphisme de corps à partir d’un isomorphisme de groupe de Galois compatible avec les filtrations de ramification correspondantes.

A local analogue of the Grothendieck Conjecture is an equivalence between the category of complete discrete valuation fields $K$ with finite residue fields of characteristic $p\ne 0$ and the category of absolute Galois groups of fields $K$ together with their ramification filtrations. The case of characteristic 0 fields $K$ was studied by Mochizuki several years ago. Then the author of this paper proved it by a different method in the case $p>2$ (but with no restrictions on the characteristic of $K$). In this paper we suggest a modified approach: it covers the case $p=2$, contains considerable technical simplifications and replaces the Galois group of $K$ by its maximal pro-$p$-quotient. Special attention is paid to the procedure of recovering field isomorphisms coming from isomorphisms of Galois groups, which are compatible with the corresponding ramification filtrations.

[1] V.A. Abrashkin, Ramification filtration of the Galois group of a local field. II. Proceeding of Steklov Math. Inst. 208 (1995), 18–69. | MR | Zbl

[2] V.A. Abrashkin, Ramification filtration of the Galois group of a local field. III. Izvestiya RAN, ser. math. 62 (1998), 3–48. | MR | Zbl

[3] V.A. Abrashkin, A local analogue of the Grothendieck conjecture. Int. J. of Math. 11 (2000), 3–43. | MR | Zbl

[4] P. Berthelot, W. Messing, Théorie de Deudonné Cristalline III: Théorèmes d’Équivalence et de Pleine Fidélité. The Grotendieck Festschrift. A Collection of Articles Written in Honor of 60th Birthday of Alexander Grothendieck, volume 1, eds P.Cartier etc. Birkhauser, 1990, 173–247. | MR | Zbl

[5] J.-M. Fontaine, Representations $p$-adiques des corps locaux (1-ere partie). The Grothendieck Festschrift. A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck, volume II, eds. P.Cartier etc. Birkhauser, 1990, 249–309. | MR | Zbl

[6] K. Iwasawa, Local class field theory. Oxford University Press, 1986 | MR | Zbl

[7] Sh.Mochizuki, A version of the Grothendieck conjecture for $p$-adic local fields. Int. J. Math. 8 (1997), 499–506. | MR | Zbl

[8] J.-P.Serre, Lie algebras and Lie groups. Lectures given at Harvard University. New-York-Amsterdam, Bevjamin, 1965. | MR | Zbl

[9] I.R. Shafarevich. A general reciprocity law (In Russian). Mat. Sbornik 26 (1950), 113–146; Engl. transl. in Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, volume 2 (1956), 59–72. | MR | Zbl

[10] J.-P. Wintenberger, Extensions abéliennes et groupes d’automorphismes de corps locaux, C. R. Acad. Sc. Paris, Série A 290 (1980), 201–203. | MR | Zbl

[11] J.-P. Wintenberger, Le corps des normes de certaines extensions infinies des corps locaux; application. Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV. Ser 16 (1983), 59–89. | Numdam | MR | Zbl