Landau’s function for one million billions

Deléglise, Marc; Nicolas, Jean-Louis; Zimmermann, Paul

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 20 (2008) no. 3, pp. 625-671.

Soit ${𝔖}_n$ le groupe symétrique sur $n$ lettres et $g\left(n\right)$ l’ordre maximal d’un élément de ${𝔖}_n$. Si la factorisation en nombres premiers de $M$ est $M=q_1^{{\alpha }_1}{q}_2^{{\alpha }_2}...q_k^{{\alpha }_k}$, nous définissons $\ell \left(M\right)$ comme étant $q_1^{{\alpha }_1}+q_2^{{\alpha }_2}+...+q_k^{{\alpha }_k}$ ; il y a un siècle, E. Landau a montré que $g\left(n\right)={max}_{\ell \left(M\right)\le n}M$ et que, quand $n$ tend vers l’infini, $logg\left(n\right)\sim \sqrt{nlog\left(n\right)}$.

Il existe un algorithme élémentaire pour calculer $g\left(n\right)$ pour $1\le n\le N$ ; son temps d’exécution est en $𝒪\left(N^{3/2}/\sqrt{logN}\right)$ et la place mémoire nécessaire est en $𝒪\left(N\right)$ ; cela permet de calculer $g\left(n\right)$ jusqu’à, disons, un million. Nous donnons un algorithme pour calculer $g\left(n\right)$ pour $n$ jusqu’à ${10}^{15}$. L’idée principale est de considérer les nombres dits $\ell$-superchampions. Des nombres similaires, les nombres hautement composés supérieurs, ont été introduits par S. Ramanujan pour étudier les grandes valeurs de la fonction nombre de diviseurs $\tau \left(n\right)={\sum }_{d|n}1$.

Let ${𝔖}_n$ denote the symmetric group with $n$ letters, and $g\left(n\right)$ the maximal order of an element of ${𝔖}_n$. If the standard factorization of $M$ into primes is $M=q_1^{{\alpha }_1}{q}_2^{{\alpha }_2}...q_k^{{\alpha }_k}$, we define $\ell \left(M\right)$ to be $q_1^{{\alpha }_1}+q_2^{{\alpha }_2}+...+q_k^{{\alpha }_k}$; one century ago, E. Landau proved that $g\left(n\right)={max}_{\ell \left(M\right)\le n}M$ and that, when $n$ goes to infinity, $logg\left(n\right)\sim \sqrt{nlog\left(n\right)}$.

There exists a basic algorithm to compute $g\left(n\right)$ for $1\le n\le N$; its running time is $𝒪\left(N^{3/2}/\sqrt{logN}\right)$ and the needed memory is $𝒪\left(N\right)$; it allows computing $g\left(n\right)$ up to, say, one million. We describe an algorithm to calculate $g\left(n\right)$ for $n$ up to ${10}^{15}$. The main idea is to use the so-called $\ell$-superchampion numbers. Similar numbers, the superior highly composite numbers, were introduced by S. Ramanujan to study large values of the divisor function $\tau \left(n\right)={\sum }_{d|n}1$.

Mots clés : Arithmetical function, symmetric group, maximal order, highly composite number.

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