Géométrie réelle des dessins d’enfant

Pharamond dit d’Costa, Layla

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 639-691.

À tout dessin d’enfant est associé un revêtement ramifié de la droite projective complexe ${\mathbf{P}}_{ℂ}^1$, non ramifié en dehors de 0, 1 et l’infini. Cet article a pour but de décrire la structure algébrique de l’image réciproque de la droite projective réelle par ce revêtement, en termes de la combinatoire du dessin d’enfant. Sont rappelées en annexe les propriétés de la restriction de Weil et des dessins d’enfants utilisées.

To every Grothendieck’s “dessin d’enfant" is associated a ramified covering of the projective complexe line ${\mathbf{P}}_{ℂ}^1$, unramified over ${\mathbf{P}}_{ℂ}^1-\{0,1,\infty \}$. The aim of this paper is to describe the algebraic structure of the preimage of the real projective line ${\mathbf{P}}_{ℝ}^1$ by this covering in terms of the combinatorial data of the “dessin d’enfant". The required properties of the Weil restriction and of dessins d’enfant are given in the appendices.

[1] S. Bosch, W. Lütkebohmert, M. Raynaud, Néron Models. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, 21, Springer-Verlag, (1990). | MR | Zbl

[2] J.-M. Couveignes, Calcul et rationalité de fonctions de Belyi en genre 0. Annales de l’Institut Fourier, 44 (1) (1994), p. 1–38. | Numdam | MR | Zbl

[3] P. Dèbes, J.-C. Douai, Algebraic covers  : field of moduli versus field of definition. Ann. scient. Éc. Norm. Sup, tome 30 (1997), p. 303–338. | Numdam | MR | Zbl

[4] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique  : I, Le langage des schémas. Institut des Hautes Études Scientifiques, Publications Mathématiques 4 (1960). | Numdam | MR | Zbl

[5] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique  : II, Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Institut des Hautes Études Scientifiques, Publications Mathématiques 8 (1961). | Numdam | MR | Zbl

[6] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique  : IV, Étude locale des schémas et morphismes de schémas (Première Partie). Institut des Hautes Études Scientifiques, Publications Mathématiques 20 (1964). | Numdam | Zbl

[7] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique  : IV, Étude locale des schémas et morphismes de schémas (Seconde Partie). Institut des Hautes Études Scientifiques, Publications Mathématiques 24 (1965). | Numdam | Zbl

[8] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique  : IV, Étude locale des schémas et morphismes de schémas (Quatrième Partie). Institut des Hautes Études Scientifiques, Publications Mathématiques 32 (1967). | Numdam | Zbl

[9] J. Oesterlé, Revêtements de ${\mathbf{P}}_1-\{0,1,\infty \}$. Notes du cours de DEA prises par A. Kraus, année 1993–1994, non publiées.