Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures $p$-adiques admissibles

Panchishkin, Alexei

Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures

p

-adiques admissibles

Panchishkin, Alexei

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 805-829.

Résumé
Abstract

On donne une nouvelle condition suffisante pour l’existence des mesures $p$ -adiques admissibles $μ$ obtenues à partir de suites de distributions $Φ_{j} (j \geq 0)$ à valeurs dans les espaces de formes modulaires. On utilise la projection caractéristique sur le sous-espace primaire associé à une valeur propre non nulle $α$ de l’opérateur $U$ d’Atkin. Notre condition est exprimée en termes des congruences entre les coefficients de Fourier des formes modulaires $Φ_{j}$ . On montre comment vérifier ces congruences, et on traite plusieurs applications. On obtient donc une explication conceptuelle des formules de Yu.Manin pour les distributions attachées à la fonction $L_{f} (s, χ) = \sum_{n \geq 1} χ (n) a_{n} n^{- s}$ d’une forme parabolique primitive $f = \sum_{n \geq 1} a_{n} q^{n} \in S_{k} (Γ_{0} (N), ψ)$ de poids $k \geq 2$ .

We give a new sufficient condition for the existence of admissible $p$ -adic measures $μ$ obtained from sequences of distributions $Φ_{j} (j \geq 0)$ with values in spaces of modular forms. We use the characteristic projection on the primary subspace associated to a non zero eigenvalue $α$ of the Atkin operator $U$ . Our condition is expressed in terms of congruences between the Fourier coefficients of the modular forms $Φ_{j}$ . We show how to verify these congruences and we give several applications. So we get a conceptual explanation for the Yu.Manin’s formulas for the distributions attached to the $L$ -function, $L_{f} (s, χ) = \sum_{n \geq 1} χ (n) a_{n} n^{- s}$ , of a primitive cuspform $f = \sum_{n \geq 1} a_{n} q^{n} \in S_{k} (Γ_{0} (N), ψ)$ of weight $k \geq 2$ .

MR Zbl

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Panchishkin, Alexei. Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures $p$-adiques admissibles. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 805-829. http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_3_805_0/

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