Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples

Fischler, Stéphane

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 2, pp. 479-534.

Ce texte donne une nouvelle présentation, et une généralisation, des groupes qui apparaissent dans les travaux de Rhin-Viola ([8], [9]) sur les mesures d’irrationalité de $\zeta$(2) et $\zeta$(3). D’une part, on interprète ces groupes comme des groupes d’automorphismes, ce qui permet de déduire chacune des relations entre intégrales utilisées par Rhin-Viola d’un changement de variables. D’autre part, on considère plusieurs familles d’intégrales $n$-uples, et on montre que chacune d’elles est munie d’une action de groupe comme dans les travaux de Rhin-Viola. De plus, les valeurs de ces intégrales sont (conjecturalement, pour certaines) des formes linéaires, sur le corps des rationnels, en les polyzêtas de poids au plus $n$. Ces familles englobent beaucoup d’intégrales qui sont apparues dans l’étude des valeurs de $\zeta$ aux entiers. On exhibe un changement de variables entre deux de ces familles, qui permet de relier les approches de Beukers, Rhin-Viola, Vasilenko, Vasilyev d’une part, Sorokin et Rivoal d’autre part.

This paper gives a new presentation, and a generalization, of the group structures in Rhin-Viola’s work ([8], [9]) on irrationality measures of $\zeta$(2) and $\zeta$(3). On the one hand, these groups are seen as automorphism groups, which makes it possible to prove all relations between Rhin-Viola integrals using changes of variables. On the other hand, several families of $n$-dimensional integrals are considered, and each of them is shown to be equipped with a group action in the same fashion as in Rhin-Viola’s work. Moreover, the values of these integrals are (sometimes conjecturally) linear forms, over the rationals, in multiple zeta values of weight at most $n$. Among these families lie many integrals that have appeared in the study of the values of $\zeta$ at integer points. A change of variables is given between two of these families, which connects the approach of Beukers, Rhin-Viola, Vasilenko, Vasilyev to that of Sorokin and Rivoal.

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