Fundamental domains for Shimura curves

Kohel, David R.; Verrill, Helena A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 205-222.

Nous décrivons un procédé permettant de déterminer explicitement un domaine fondamental dans le demi-plan supérieur pour une courbe de Shimura $X_0^D\left(N\right)$ associée à un ordre d’une algèbre de quaternions $A/\mathbb{Q}$. Un domaine fondamental pour $X_0^D\left(N\right)$ réalise une présentation finie du groupe des unités quaternioniennes modulo les unités du centre. Nous donnons des exemples explicites pour les courbes $X_0^6\left(1\right),X_0^{15}\left(1\right)$ et $X_0^{35}\left(1\right)$. Le premier exemple est l’exemple classique d’un groupe triangulaire et le second est une version corrigée due à Michon de celui du livre [13] de Vignéras. Ces exemples sont aussi traités dans la thèse d’Alsina [1]. Le dernier exemple est nouveau et fournit un modèle des méthodes qu’il faut appliquer lorsque le groupe agit sans points elliptiques.

We describe a process for defining and computing a fundamental domain in the upper half plane $\mathscr{H}$ of a Shimura curve $X_0^D\left(N\right)$ associated with an order in a quaternion algebra $A/𝐐$. A fundamental domain for $X_0^D\left(N\right)$ realizes a finite presentation of the quaternion unit group, modulo units of its center. We give explicit examples of domains for the curves $X_0^6\left(1\right),X_0^{15}\left(1\right),\text{and}{X}_0^{35}\left(1\right)$. The first example is a classical example of a triangle group and the second is a corrected version of that appearing in the book of Vignéras [13], due to Michon. These examples are also treated in the thesis of Alsina [1]. The final example is new and provides a demonstration of methods to apply when the group action has no elliptic points.

[1] M. Alsina, Aritmetica d'ordres quaternionics i uniformitzacio hiperbolica de corbes de Shimura. PhD Thesis, Universitat de Barcelona 2000, Publicacions Universitat de Barcelona, ISBN: 84-475-2491-4, 2001.

[2] W. BOSMA, J. CANNON, eds. The Magma Handbook. The University of Sydney, 2002. http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/htmlhelp/MAGMA.htm.

[3] J. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves, Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. | MR | Zbl

[4] N. Elkies, Shimura Curve Computations. Algorithmic Number Theory, LNCS 1423, J. Buhler, ed, Springer (1998), 1-47. | MR | Zbl

[5] D. Kohel, Endomorphism rings of elliptic curves over finite fields. Thesis, University of California, Berkeley, 1996.

[6] D. Kohel, Hecke module structure of quaternions. Class field theory-its centenary and prospect (Tokyo, 1998), K. Miyake, ed, Adv. Stud. Pure Math., 30, Math. Soc. Japan, Tokyo (2001), 177-195. | MR | Zbl

[7] D. Kohel, Brandt modules. Chapter in The Magma Handbook, Volume 7, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 343-354.

[8] D. Kohel, Quaternion Algebras. Chapter in The Magma Handbook, Volume 6, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 237-256.

[9] A. Kurihara, On some examples of equations defining Shimura curves and the Mumford uniformization. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 25 (1979), 277-301. | MR | Zbl

[10] J.-F. Michon, Courbes de Shimura hyperelliptiques. Bull. Soc. Math. France 109 (1981), no. 2, 217-225. | Numdam | MR | Zbl

[11] D. Roberts, Shimura curves analogous to X0(N). Ph.D. thesis, Harvard, 1989.

[12] H. Verrill, Subgroups of PSL2(R), Chapter in The Magma Handbook, Volume 2, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 233-254.

[13] M.-F. Vignéras, Arithmétiques des Algèbres de Quaternions, LNM 800, Springer-Verlag, 1980. | MR | Zbl