More on inhomogeneous diophantine approximation

Pinner, Christopher G.

Pinner, Christopher G.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 539-557.

Résumé
Abstract

Pour un nombre irrationnel $α$ et un nombre réel $γ$ , on considère la constante d’approximation non-homogène

M (α, γ) : = \underset{| n | \to \infty}{lim inf} | n | | | n α - γ | |

en rapport avec le développement en fraction continue négatif semi-régulier de

α

α = \frac{1}{a_{1} - \frac{1}{a_{2} - \frac{1}{a_{3} - \dots}}}

et un

α

-développement adéquat de

γ

. Nous donnons une majoration de

ρ (α) : = sup_{γ \notin 𝐙 + α 𝐙} M (α, γ),

dans le cas où

α

est mal approximé, qui s’avère fine lorsque les quotients partiels

a_{i}

sont presque tous pairs et supérieurs ou égaux à

4

. Lorsque le développement de

α

est de période

1

, on décrit entièrement le spectre des valeurs prises par

𝐋 (α) : = {M (α, γ) : γ \notin 𝐙 + α 𝐙},

au-dessus du premier point d’accumulation.

For an irrational real number $α$ and real number $γ$ we consider the inhomogeneous approximation constant

M (α, γ) : = \underset{| n | \to \infty}{lim inf} | n | | | n α - γ | |

via the semi-regular negative continued fraction expansion of

α

α = \frac{1}{a_{1} - \frac{1}{a_{2} - \frac{1}{a_{3} - \dots}}}

and an appropriate alpha-expansion of

γ

. We give an upper bound on the case of worst inhomogeneous approximation,

ρ (α) : = sup_{γ \notin 𝐙 + α 𝐙} M (α, γ),

which is sharp when the partial quotients ai are almost all even and at least four. When the negative expansion has period one we give a complete description of the spectrum of values

L (α) : = {M (α, γ) : γ \notin 𝐙 + α 𝐙},

above the first limit point.

MR Zbl

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     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
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Pinner, Christopher G. More on inhomogeneous diophantine approximation. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 539-557. http://www.numdam.org/item/JTNB_2001__13_2_539_0/

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