The Lehmer constants of an annulus

Dubickas, Artūras; Smyth, Chris J.

Dubickas, Artūras ; Smyth, Chris J.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 413-420.

Résumé
Abstract

Soit $M (α)$ la mesure de Mahler d'un nombre algébrique $α$ , et $V$ un ouvert de $ℂ$ . Alors sa \emph{constante de Lehmer} $L (V)$ est égale à inf $M {(α)}^{1 / deg (α)}$ , l'infimum étant évalué sur tous les nombres algébriques non cyclotomiques $α$ dont tous les conjugués sont à l'extérieur de $V$ . Nous calculons $L (V)$ lorsque $V$ est une couronne centrée en $0$ . Nous faisons de même pour la constante de Lehmer transfinie $L_{\infty} (V)$ .\\ Nous démontrons également la réciproque d'un théorème de Langevin, qui affirme que $L (V) > 1$ si $V$ contient un élément de module $1$ , ainsi que le résultat analogue avec $L_{\infty} (V)$ .

Let $M (α)$ be the Mahler measure of an algebraic number $α$ , and $V$ be an open subset of $ℂ$ . Then its \emph{Lehmer constant} $L (V)$ is inf $M {(α)}^{1 / deg (α)}$ , the infimum being over all non-zero non-cyclotomic $α$ lying with its conjugates outside $V$ . We evaluate $L (V)$ when $V$ is any annulus centered at $0$ . We do the same for a variant of $L (V)$ , which we call the transfinite Lehmer constant $L_{\infty} (V)$ .\\ Also, we prove the converse to Langevin's Theorem, which states that $L (V) > 1$ if $V$ contains a point of modulus $1$ . We prove the corresponding result for $L_{\infty} (V)$ .

MR Zbl

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TY  - JOUR
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Dubickas, Artūras; Smyth, Chris J. The Lehmer constants of an annulus. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 413-420. http://www.numdam.org/item/JTNB_2001__13_2_413_0/

Bibliographie
Cité par

[BS] F. Beukers, C.J. Smyth, Cyclotomic points on curves. Number Theory for the Millennium: Proc. Millennial Conf. Number Theory (B. C. Berndt et al., eds.), Urbana, Illinois, May 21 - 26, 2000, A K Peters, Ltd., Natick, MA (to appear 2002). | MR | Zbl

[D] A. Dubickas, On the distribution of roots of polynomials in sectors. I. Liet. Matem. Rink. 38 (1998), 34-58. | MR | Zbl

[DS] A. Dubickas, C.J. Smyth, On the Remak height, the Mahler measure, and conjugate sets of algebraic numbers lying on two circles. Proc. Edinburgh Math. Soc. 44 (2001), 1-17. | MR | Zbl

[La] M. Langevin, Méthode de Fekete - Szegö et problème de Lehmer. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 301 (1985), 463-466. | MR | Zbl

[La2] M. Langevin, Minorations de la maison et de la mesure de Mahler de certains entiers algébriques. C. R. Acad. Sci. Paris Sèr. I Math. 303 (1986), 523-526. | MR | Zbl

[La3] M. Langevin, Calculs explicites de constantes de Lehmer. Groupe de travail en théorie analytique et élémentaire des nombres, 1986-1987, 52-68, Publ. Math. Orsay, 88-01, Univ. Paris XI, Orsay, 1988. | MR | Zbl

[Le1] D.H. Lehmer, Factorisation of certain cyclotomic functions. Ann. of Math. (2) 34 (1933), 461-479. | JFM | MR | Zbl

[Le2] D.H. Lehmer, Review of [La3]. Math. Rev. 89j:11025.

[M] M. Mignotte, Sur un théorème de M. Langevin. Acta Arith. 54 (1989), 81-86. | MR | Zbl

[RS] G. Rhin, C.J. Smyth, On the absolute Mahler measure of polynomials having all zeros in a sector. Math. Comp. 65 (1995), 295-304. | MR | Zbl

[Sc] A. Schinzel, On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic number. Acta Arith. 24 (1973), 385-399; Addendum 26 (1975), 329-331. | MR

[Sm] C.J. Smyth, On the measure of totally real algebraic integers. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 30 (1980), 137-149. | MR | Zbl