Fields of definition of ℚ-curves
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 1, pp. 275-285.

Soit C une ℚ-courbe sans multiplication complexe. Dans cet article, nous caractérisons les corps de nombres K pour lesquels il existe une courbe C ' isogène à C dont toutes les isogénies entre les conjuguées par le groupe de Galois sont définies sur K. Nous caractérisons également les courbes C ' isogènes à C définies sur un corps de nombres K telles que la variété abélienne Res K/ℚ déduite de C ' par restriction des scalaires est un produit de variétés abéliennes de type GL 2 .

Let C be a ℚ-curve with no complex multiplication. In this note we characterize the number fields K such that there is a curve C ' isogenous to C having all the isogenies between its Galois conjugates defined over K, and also the curves C ' isogenous to C defined over a number field K such that the abelian variety Res K/ℚ (C ' /K) obtained by restriction of scalars is a product of abelian varieties of GL 2 -type.

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