Arakelov computations in genus $3$ curves

Guàrdia, Jordi

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 1, pp. 157-165.

Les invariants d’Arakelov des surfaces arithmétiques sont bien connus pour le genre 1 et 2 ([4], [2]). Dans cette note, nous étudions la hauteur modulaire et la self-intersection d’Arakelov pour une famille de courbes de genre 3 possédant beau-coup d’automorphismes, à savoir

$$C_n:Y^4=X^4-(4n-2)X^2{Z}^2+Z^4.$$

La théorie d’Arakelov fait intervenir à la fois des calculs arithmétiques et des calculs analytiques. Nous exprimons les périodes de $C_n$ en termes d’intégrales elliptiques. Les substitutions utilisées dans les intégrales fournissent une décomposition de la jacobienne de $C_n$ en produit de trois courbes elliptiques. En utilisant l’isogénie correspondante, nous déterminons le modèle stable de la surface arithmétique définie par $C_n$. Une fois calculés les périodes et le modèle stable de $C_n$, nous sommes en mesure de déterminer la hauteur modulaire et la self intersection du modèle canonique. Nous donnons une bonne estimation de cette hauteur modulaire, traduite par son comportement logarithmique. Nous donnons également une minoration de la self-intersection qui montre qu’elle peut être arbitrairement grande. Nous présentons ici nos calculs presque sans démonstrations. Les détails peuvent être lus dans [5].

Arakelov invariants of arithmetic surfaces are well known for genus 1 and 2 ([4], [2]). In this note, we study the modular height and the Arakelov self-intersection for a family of curves of genus 3 with many automorphisms:

$$C_n:Y^4=X^4-(4n-2)X^2{Z}^2+Z^4.$$

Arakelov calculus involves both analytic and arithmetic computations. We express the periods of the curve $C_n$ in terms of elliptic integrals. The substitutions used in these integrals provide a splitting of the jacobian of $C_n$ as a product of three elliptic curves. Using the corresponding isogeny, we determine the stable model of the arithmetic surface given by $C_n$. Once we have the periods and the stable model of $C_n$, we can study the modular height and the self-intersection of the canonical sheaf. We can give a good estimate for the modular height, which reflects its logarithmic behaviour. We provide a lower bound for the self-intersection, which shows that it can be arbitrarily large. We present here all our calculations on the curves $C_n$, almost without proofs. Details can be found in [5].

[1] A. Abbes, E. Ullmo, Auto-intersection du dualisant relatif des courbes modulaires X0(N). J. reine angew. Math. 484 (1997), 1-70. | MR | Zbl

[2] J.-B. Bost, Fonctions de Green-Anakelov, fonctions théta et courbes de genre 2. C.R. Acad. Sci. Paris Série I 305 (1987), 643-646. | MR | Zbl

[3] Bost J.-B., J.-F. Mestre, L. Moret-Bailly, Sur le calcul explicite des "classes de Chern" des surfaces arithmétiques de genre 2. Astérisque 183 (1990), 69-105. | Numdam | MR | Zbl

[4] G. Faltings, Calculus on arithmetic surfaces. Ann. of Math. 119 (1984), 387-424. | MR | Zbl

[5] J. Guàrdia, Geometria aritmética en una famlia de corbes de genere 3. Thesis, Universitat de Barcelona, 1998.

[6] A. Moriwaki, Lower bound of self-intersection of dualizing sheaves on arithmetic surfaces with reducible fibres. Compositio Mathematica 105 (1997), 125-140. | MR | Zbl

[7] M. Raynaud, Hauteurs et isogénies. Séminaire sur les pinceaux arithmétiques: la conjecture de Mordell, exp. VII. Astérisque 127 (1985), 199-234. | Numdam | MR

[8] E. Ullmo, Positivité et discrétion des points algébriques des courbes. Annals of Math. 147 (1998), 167-179. | MR | Zbl