Zhang-Zagier heights of perturbed polynomials

Doche, Christophe

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 1, pp. 103-110.

Dans un précédent article, nous étudions le spectre de la hauteur de Zhang-Zagier [2]. Les progrès accomplis reposaient sur un algorithme qui donnaient des polynômes possédant une petite hauteur. Ici, nous décrivons un nouvel algorithme qui produit des hauteurs encore plus petites. Ceci nous a permis de mettre en évidence un point d’accumulation inférieur à $1,289735$. Cette borne est meilleure que la précédente qui était $1,2916674$. Après quelques définitions nous détaillons le principe de l’algorithme, les résultats obtenus et la construction explicite qui mène à cette nouvelle borne.

In a previous article we studied the spectrum of the Zhang-Zagier height [2]. The progress we made stood on an algorithm that produced polynomials with a small height. In this paper we describe a new algorithm that provides even smaller heights. It allows us to find a limit point less than $1.289735$ i.e. better than the previous one, namely $1.2916674$. After some definitions we detail the principle of the algorithm, the results it gives and the construction that leads to this new limit point.

[1] J. Dégot, J.-C. Hohl, O. Jenvrin, Calcul numérique de la mesure de Mahler d'un polynome par itérations de Graeffe. C.R. Acad. Sci. Paris 320 (1995), 269-272. | MR | Zbl

[2] C. Doche, On the spectrum of the Zhang-Zagier height. Math. Comp. 70 (2001), no. 233, 419-430. | MR | Zbl

[3] G.P. Dresden, Orbits of algebraic numbers with low heights. Math. Comp. 67 (1998), 815-820. | MR | Zbl

[4] V. Flammang, Mesures de polynômes. Applications au diamètre transfini entier. Thèse de l'Université de Metz, 1994.

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[6] M.J. Mossinghoff, C.G. Pinner, J.D. Vaaler, Perturbing polynomials with all their roots on the unit circle. Math. Comp. 67 (1998), 1707-1726. | MR | Zbl

[7] C.J. Smyth, On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer. Bull. London Math. Soc. 3 (1971), 169-175. | MR | Zbl

[8] C.J. Smyth, On the measure of totally real algebraic integers II. Math. Comp. 37 (1981), 205-208. | MR | Zbl

[9] D. Zagier, Algebraic numbers close both to 0 and 1. Math. Comp. 61 (1993), 485-491. | MR | Zbl

[10] S. Zhang, Positive line bundles on arithmetic surfaces. Ann. of Math. 136 (1992), 569-587. | MR | Zbl