Congruences modulo $\ell$ between $ϵ$ factors for cuspidal representations of $GL\left(2\right)$

Vignéras, Marie-France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 571-580.

Titre français : Congruences modulo $\ell$ entre facteurs $ϵ$ des représentations cuspidales de $GL\left(2\right)$. Soient $\ell \ne p$ deux nombres premiers distincts, $F$ un corps local non archimedien de caractéristique résiduelle $p,{\overline{𝐐}}_{\ell }$ une clôture algébrique du corps des nombres $\ell$-adiques, et ${\overline{𝐅}}_{\ell }$ le corps résiduel de ${\overline{𝐐}}_{\ell }$. On conjecture que la correspondance locale de Langlands pour $GL(n,F)$ sur ${\overline{𝐐}}_{\ell }$ respecte les congruences modulo $\ell$ entre les facteurs $L$ et $ϵ$ de paires, et que la correspondance locale de Langlands sur ${\overline{𝐅}}_{\ell }$ est caractérisée par des identités entre de nouveaux facteurs $L$ et $ϵ$. Nous allons le démontrer lorsque $n=2$.

Let $\ell \ne p$ be two different prime numbers, let $F$ be a local non archimedean field of residual characteristic $p$, and let ${\overline{𝐐}}_{\ell },{\overline{𝐙}}_{\ell },{\overline{𝐅}}_{\ell }$ be an algebraic closure of the field of $\ell$-adic numbers ${𝐐}_{\ell }$, the ring of integers of ${\overline{𝐐}}_{\ell }$, the residual field of ${\overline{𝐙}}_{\ell }$. We proved the existence and the unicity of a Langlands local correspondence over ${\overline{𝐅}}_{\ell }$ for all $n\ge 2$, compatible with the reduction modulo $\ell$ in [V5], without using $L$ and $ϵ$factors of pairs. We conjecture that the Langlands local correspondence over ${\overline{𝐐}}_{\ell }$ respects congruences modulo $\ell$ between $L$ and $ϵ$ factors of pairs, and that the Langlands local correspondence over ${\overline{𝐅}}_{\ell }$ is characterized by identities between new $L$ and $ϵ$ factors. The aim of this short paper is prove this when $n=2$.

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