Réalisation de formes $\mathbb{Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées

Berhuy, Grégory

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 25-36.

Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme $\mathbb{Z}$-bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non $\mathbb{Q}$-isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$, où $\alpha$ est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout $S\in M_{2n}\left(\mathbb{Z}\right)$ symétrique, avec det$S\ne 0$ (et det$S\neg \equiv -1$ (mod ${\mathbb{Q}}^{*2}$) si $n=1$), il existe un entier algébrique $\alpha$, une involution $\mathbb{Q}$-linéaire $\sigma$ de $\mathbb{Q}\left(\alpha \right),\lambda \in \mathbb{Q}\left(\alpha \right)\sigma$-symétrique et une $\mathbb{Z}$-base $v_1,\cdots ,v_{2n}$ d’un idéal de $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ tels que $S=\left(T{r}_{\mathbb{Q}\left(\alpha \right)/\mathbb{Q}}\left(\lambda v_i{v}_j^{\sigma }\right)\right)$.

In this paper, we show by an explicit method that every non degenerate symmetric $\mathbb{Z}$-bilinear form of even rank, which is not $\mathbb{Q}$-isomorphic to the hyperbolic plane, can be realized as a hermitian scaled trace form of some algebra $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$, where $\alpha$ is an algebraic integer. More precisely, we show that for every symmetric matrix $S\in M_{2n}\left(\mathbb{Z}\right)$, with det$S\ne 0$ (and det$S\neg \equiv -1$ (mod ${\mathbb{Q}}^{*2}$) if $n=1$), there exist an algebraic integer $\alpha$, a $\mathbb{Q}$-linear involution $\sigma$ of $\mathbb{Q}\left(\alpha \right),$ a $\sigma$-symmetric element $\lambda \in \mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ and a $\mathbb{Z}$-basis $v_1,\cdots ,v_{2n}$ of some ideal of $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ such that $S=\left(T{r}_{\mathbb{Q}\left(\alpha \right)/\mathbb{Q}}\left(\lambda v_i{v}_j^{\sigma }\right)\right)$.

[1] E. Bayer-Fluckiger, Jacques Martinet, Formes quadratiques liées aux algèbres semi-simples. J. reine angew. Math. 451 (1994), 51-69. | MR | Zbl

[2] M. Krüskemper, Algebraic construction of bilinear forms over Z. Pub. Math. de Besançon, Théorie des nombres (96/97-97/98).

[3] O. Taussky, On a theorem of Latimer and MacDuffee. Canad. J. Math. 1 (1949), 300-302. | MR | Zbl

[4] O. Taussky, On matrix classes corresponding to an ideal and its inverse. Illinois Math. J. 1 (1957), 108-113. | MR | Zbl