On integral representations by totally positive ternary quadratic forms

Björkholdt, Elise

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 147-164.

Soit $K$ un corps de nombres algébrique totalement réel dont l’anneau d’entiers $R$ est un anneau principal. Soit $f(x_1,x_2,x_3)$ une forme quadratique ternaire totalement définie à coefficients dans $R$. Nous étudions les représentations par $f$ d’entiers totalement positifs $N\in R$. Nous démontrons une formule qui lie le nombre de représentations de $N$ par des classes différentes dans le genre de $f$, au nombre de classes de $R\left[\sqrt{-c_{f}N}\right]$, où $c_f\in R$ est une constante qui dépend seulement de $f$. Nous donnons une démonstration algébrique du résultat classique de H. Maass sur les représentations comme sommes de trois carrés d’entiers de $\mathbb{Q}\left(\sqrt{5}\right)$ et une dépendance explicite entre le nombre de représentations et le nombre de classes du corps biquadratique correspondant. Nous donnons également des formules analogues pour certaines formes quadratiques provenant d’ordres quaternioniques maximaux de nombre de classe $1$, sur les entiers de corps de nombres quadratiques réels.

Let $K$ be a totally real algebraic number field whose ring of integers $R$ is a principal ideal domain. Let $f(x_1,x_2,x_3)$ be a totally definite ternary quadratic form with coefficients in $R$. We shall study representations of totally positive elements $N\in R$ by $f$. We prove a quantitative formula relating the number of representations of $N$ by different classes in the genus of $f$ to the class number of $R\left[\sqrt{-c_{f}N}\right]$, where $c_f\in R$ is a constant depending only on $f$. We give an algebraic proof of a classical result of H. Maass on representations by sums of three squares over the integers in $\mathbb{Q}\left(\sqrt{5}\right)$ and obtain an explicit dependence between the number of representations and the class number of the corresponding bi-quadratic field. We also give similar formulae for some quadratic forms arising from maximal quaternion orders, with class number one, over the integers in real quadratic number fields.

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