A computer algorithm for finding new euclidean number fields

Quême, Roland

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 1, pp. 33-48.

Cet article donne la description d’un algorithme informatique fournissant une condition suffisante pour qu’un corps de nombres soit euclidien pour la norme, ou plus brièvement euclidien. Dans le recensement des corps euclidiens et des méthodes de recherche de ceux-ci, Franz Lemmermeyer a mentionné, [3] p 405, que 743 corps de nombres euclidiens étaient connus (mars 1994), (le premier d’entre eux, $\mathbb{Q}$ découvert par Euclide, trois siècles avant J.-C.!). Durant les premiers mois de 1997, nous avons trouvé plus de 1200 nouveaux corps de nombres euclidiens de degré 4, 5 et 6. Ces résultats ont été obtenus grâce à un algorithme informatique mettant en oeuvre les propriétés classiques des réseaux, plongements de l’anneau des entiers d’un corps de nombres $𝐊$ de degré $n$ dans ${ℝ}^n$ , ainsi que la structure du groupe des unités de $𝐊$. La fin de cet article est une généralisation à la recherche des anneaux euclidiens de $S$-entiers des corps de nombres $𝐊$ et à l’étude du minimum inhomogène de la forme Norme. Les résultats obtenus sont cohérents avec ceux de la bibliographie.

This article describes a computer algorithm which exhibits a sufficient condition for a number field to be euclidean for the norm. In the survey [3] p 405, Franz Lemmermeyer pointed out that 743 number fields where known (march 1994) to be euclidean (the first one, $\mathbb{Q}$, discovered by Euclid, three centuries B.C.!). In the first months of 1997, we found more than 1200 new euclidean number fields of degree 4, 5 and 6 with a computer algorithm involving classical lattice properties of the embedding of the degree $n$ field $𝐊$ into ${ℝ}^n$ and the structure of the unit group of $𝐊$. This articles ends with a generalization of the method for the determination of rings of $S$-integers of number fields euclidean for the norm and for the study of the inhomogeneous minimum of the norm form. Our results are in accordance with known results.

[1] S. Cavallar and F. Lemmermeyer, The euclidean algorithm in cubic number fields, draft (August 1996).

[2] H. Davenport, Linear forms associated with an algebraic number field, Quarterly J. Math., (2) 3, (1952), pp. 32-41. | MR | Zbl

[3] F. Lemmermeyer, The euclidean algorithm in algebraic number fields, Expo. Mat., no 13 (1995), pp. 385-416. | MR | Zbl

[4] H.W. Lenstra, Euclidean number fields of large degree, Invent. Math., n0 38, (1977), pp. 237-254. | MR | Zbl

[5] O.T. O'Meara, On the finite generation of linear groups over Hasse domains, J. Reine Angew. Math. n0 217 (1965), pp. 79-108. | MR | Zbl

[6] P. Samuel, Theorie algébrique des nombres, Hermann, (1967). | MR | Zbl