Equivalences between elliptic curves and real quadratic congruence function fields

Stein, Andreas

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 1, pp. 75-95.

En 1994, le célèbre protocole d'échange de clefs de Diffie-Hellman fut pour la première fois implémenté dans un cas où l'espace des clefs sous-jacent n'a pas une structure de groupe : en effet l'ensemble des idéaux réduits principaux d'un corps de nombres quadratique réel n'est pas un groupe, mais néanmoins possède ce qu'on appelle une infrastructure. Récemment, ce principe a été étendu au cas des corps quadratiques réels de fonctions sur un corps fini. Comme toujours, la sécurité du protocole dépend d'un certain problème de logarithme discret (PLD). Dans cet article, nous démontrons que pour les corps quadratiques réels de fonctions sur un corps fini et de genre un, i.e les corps de fonctions elliptiques sur un corps fini, ce PLD est équivalent au PLD pour les courbes elliptiques définies sur un corps fini. Nous explicitons ici la correspondance entre ces deux PLD, et nous prouvons certaines propriétés n'ayant pas d'analogues dans le cas des corps de nombres quadratiques réels. De plus, nous montrons même que la structure de l'ensemble des idéaux réduits principaux est plus proche de celle d'un groupe dans le cas particuliers des corps de fonctions elliptiques sur un corps fini que dans le cas général, bien que ce ne soit pas un groupe.

In 1994, the well-known Diffie-Hellman key exchange protocol was for the first time implemented in a non-group based setting. Here, the underlying key space was the set of reduced principal ideals of a real quadratic number field. This set does not possess a group structure, but instead exhibits a so-called infrastructure. More recently, the scheme was extended to real quadratic congruence function fields, whose set of reduced principal ideals has a similar infrastructure. As always, the security of the protocol depends on a certain discrete logarithm problem (DLP). In this paper, we show that for real quadratic congruence function fields of genus one, i.e. elliptic congruence function fields, this DLP is equivalent to the DLP for elliptic curves over finite fields. We present the explicit corresponce between the two DLPs and prove some properties which have no analogues for real quadratic number fields. Furthermore, we show that for elliptic congruence function fields, the set of reduced principal ideals is even “closer” to a group than in the general case, but still fails to be a group.

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