Des résultats classiques dûs à Rédei, Reichardt et Scholz montrent que les extensions cycliques non ramifiées de degré d’un corps de nombre quadratique correspondent à certaines factorisations du discriminant disc . Dans cet article, on généralise ces résultats aux extensions quaternionniennes non ramifiées et galoisiennes sur . On montre aussi comment les construire explicitement.
Classical results of Rédei, Reichardt and Scholz show that unramified cyclic quartic extensions of quadratic number fields correspond to certain factorizations of its discriminant disc . In this paper we extend their results to unramified quaternion extensions of which are normal over , and show how to construct them explicitly.
@article{JTNB_1997__9_1_51_0, author = {Lemmermeyer, Franz}, title = {Unramified quaternion extensions of quadratic number fields}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {51--68}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {9}, number = {1}, year = {1997}, mrnumber = {1469661}, zbl = {0890.11031}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/item/JTNB_1997__9_1_51_0/} }
TY - JOUR AU - Lemmermeyer, Franz TI - Unramified quaternion extensions of quadratic number fields JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 1997 SP - 51 EP - 68 VL - 9 IS - 1 PB - Université Bordeaux I UR - http://www.numdam.org/item/JTNB_1997__9_1_51_0/ LA - en ID - JTNB_1997__9_1_51_0 ER -
Lemmermeyer, Franz. Unramified quaternion extensions of quadratic number fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 1, pp. 51-68. http://www.numdam.org/item/JTNB_1997__9_1_51_0/
[1] Sur les extensions de groupe de Galois Ã4, Acta Arith. 62 (1992), 1-10. | MR | Zbl
, ,[2] Parité du nombre de classes des S4extensions de Q et courbes elliptiques, J. Number Theory 57 (1996), 366-384 | MR | Zbl
, ,[3] A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Springer Verlag 1978. | MR
,[4] Quaternion compositum genus, J. Number Theory 11 (1979), 399-411 | MR | Zbl
,[5] Plongement d'une extension quadratique dans une extension quaternionienne, J. Reine Angew. Math. 262/263 (1973), 323-338. | MR | Zbl
, ,[6] Konstruktion von Quaternionenkörpern, Ges. Werke II, Nachlaß, Braunschweig 1931, 376-384.
,[7] Galois Module Structure of Algebraic Integers, Ergebnisse der Mathematik, Springer Verlag Heidelberg, 1983 | MR | Zbl
,[8] An elementary construction of Galois quaternionic extensions, Proc. Japan Acad. 66 (1990), 80-83. | MR | Zbl
,[9] Über das Verhalten der Ideale des Grundkörpers im Klassenkörper, Monatsh. Math. Phys. 27 (1916), 1-15. | JFM | MR
,[10] Groups of order 16 as Galois groups, Expo. Math. 13 (1995), 289-319. | MR | Zbl
, , ,[11] The groups of order 2n (n ≤ 6), Macmillan, New York 1964. | Zbl
, ,[12] Quadratischer Restcharakter von Grundeinheiten und 2-Klassengruppen quadratischer Zahlkörper, Diss. Univ. Münster, 1981
,[13] On central extensions of elementary abelian fields, J. Number Theory 36 (1990), 95-107. | MR | Zbl
,[14] Sur les extensions de Q à groupe de Galois S4 et S4, Acta Arith. 70 (1995), 259-276. | MR | Zbl
,[15] Quaternion extensions, Algebraic Geometry and Commutative Algebra (1987), 155-182. | MR | Zbl
, ,[16] Explicit classifications of some 2-extensions of a field of characteristic different from 2, Can. J. Math. 42 (1990), 825-855. | MR | Zbl
,[17] Number fields with class number congruent to 4 mod 8 and Hilbert's Theorem 94, J. Number Theory 8 (1976), 271-279. | MR | Zbl
,[18] Über den 2-Klassenkörperturm eines quadratischen Zahlkörpers, J. Reine Angew. Math. 214/215 (1963), 201-206 | MR | Zbl
,[19] Algebra, third edition, Addison-Wesley 1993. | Zbl
,[20] On 2-groups as Galois groups, Canad. J. Math. 47 (1995), no. 6, 1253-1273. | MR | Zbl
,[21] Die Konstruktion von Klassenkörpern, Diss. Univ. Heidelberg 1995. | Zbl
,[22] Class Field Towers, monograph, in preparation.
,[23] Calcul des nombres de classes relatifs: application aux corps quaternioniques a multiplication complexe, C. R. Acad. Sci. Paris 317 (1993), 643-646. | MR | Zbl
,[24] Determination of all quaternion octic CM-fields with class number 2, J. London Math. Soc. (1996) | MR | Zbl
,[25] Determination of all non-normal quartic CM-fields and of all non-abelian normal octic CM-fields with class number one, Acta Arith. 67 (1994), 47-62. | MR | Zbl
, ,[26] The class number one problem for some non-abelian normal CM-fields of 2-power degrees, preprint 1996 | MR
, ,[27] Sur les extensions à groupe de Galois quaternionien, C. R. Acad. Sci. Paris 274 (1972), 933-935. | MR | Zbl
,[28] H8, Algebraic Number Fields: L-functions and Galois Properties (A. Fröhlich, ed.), 525-538, Acadenic Press New York 1977 | MR | Zbl
,[29] A characterization of C-fields via Galois groups, J. Algebra 137 (1991), 1-11 | MR | Zbl
, ,[30] Arithmetischer Beweis des Satzes über die Anzahl der durch vier teilbaren Invarianten der absoluten Klassengruppe im quadratischen Zahlkörper, J. Reine Angew. Math. 171 (1934), 55-60 | Zbl
[31] Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers, J. Reine Angew. Math. 170 (1934), 69-74 | JFM | Zbl
, ,[32] Über Normalkörper mit Quaternionengruppe, Math. Z. 41 (1936), 218-222. | JFM | MR | Zbl
,[33] Die arithmetische Theorie und die Konstruktion der Quaternionenkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage, Monatsh. Math. Phys. 41 (1934), 85-125. | JFM | MR
,[34] Extra-special groups of order 32 as Galois groups, Can. J. Math. 46 (1994), 886-896 | MR | Zbl
,[35] Group Tables, Shiva Publishing Ltd, Kent, UK 1980 | MR | Zbl
, ,[36] Constructing quaternionic fields, Glasgow Math. J. 34 (1992), 43-54. | MR | Zbl
,[37] Konstruktion von galoisschen Körpern der Charakteristik p zu vorgegebener Gruppe der Ordnung pf, J. Reine Angew. Math. 174 (1936), 237-245. | JFM | Zbl
,