À propos du théorème de Belyi

Couveignes, Jean-Marc

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 1, pp. 93-99.

Le théorème de Belyi affirme que sur toute courbe algébrique $C$ lisse projective et géométriquement connexe, définie sur $\overline{\mathbb{Q}}$, il existe une fonction $f$ non ramifiée en dehors de $\left\{0,1,\infty \right\}$. Nous montrons que cette fonction peut être choisie sans automorphismes, c’est-à-dire telle que pour tout automorphisme non trivial $a$ de $C$, on ait $f\circ 𝔞\ne f$. Nous en déduisons que si $𝕂\subset ℂ$ est une extension finie de $\mathbb{Q}$, toute $𝕂$-classe d’isomorphisme de courbes algébriques lisses projectives géométriquement connexes peut être caractérisée par un dessin d’enfant de Grothendieck, c’est à dire par une classe d’isomorphisme topologique de revêtements de la sphère privée de trois points. Nous en donnons quelques exemples.

A famous theorem of Belyi asserts that on any smooth projective geometrically connected algebraic curve $C$ defined over $\overline{\mathbb{Q}}$ there exists a function $f$ unramified outside $\left\{0,1,\infty \right\}$. We show that this function can be choosen without non trivial automorphism. As a consequence, for $𝕂\subset ℂ$ a finite extension of $\mathbb{Q}$, any $𝕂$-isomorphism class of smooth projective geometrically connected algebraic curves can be characterized by a dessin d’enfant de Grothendieck, i.e. an isomorphism class of finite connected topological coverings of the sphere minus three points. We give a few examples of this situation.

Alexandre Grothendieck, [GR] esquisse d'un programme, non publié (1974).

[BE] G.V. Belyi, On Galois extensions of the maximal cyclotomic field, Izvestiya Ak. Nauk. SSSR, ser. mat. 43(2) (1979), 269-276. | MR | Zbl

[C1] Jean-Marc Couveignes, Calcul et rationalité de fonctions de Belyi en genre 0, Annales de l'Institut Fourier 44 (1994), 1-38. | Numdam | MR | Zbl

[C2] ____, Quelques revêtements définis sur Q, à paraître dans Manuscripta Mathematica (1996).

[WE] André Weil, The field of definition of a variety, Amer. J. Math. 78 (1956), 509-524. | MR | Zbl

[SI] Joseph Silverman, The arithmetic of elliptic curves, vol. 106, Springer Lecture Notes in Math., 1986. | MR | Zbl

[SC] Leila Schneps, The Grothendieck theory of dessins d'enfant, vol. 200, Cambridge University Press, London Mathematical Society Lecture Notes Series,1994. | MR | Zbl