Sommes de sous-ensembles

Erdös, P.; Nicolas, J.-L.; Sárkozy, A.

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 3 (1991) no. 1, pp. 55-72.

On dit qu'un ensemble $𝒜$ est admissible si les sommes des éléments de deux sous ensembles de $𝒜$ de cardinaux différents sont différentes. Nous démontrons que si $𝒜\subset \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$ est admissible, alors Card $A\le (1+o\left(1\right)){(143/27)}^{1/2}\sqrt{N}$, améliorant ainsi les résultats de Erdös et Straus, et nous formulons quelques conjectures d'après des calculs numériques. Enfin nous construisons un ensemble infini admissible $𝒜$ vérifiant $A\left(x\right)=\mathrm{Card}\left\{a\in 𝒜;a\le x\right\}>>x^{5-2\sqrt{6}}$.

A set $𝒜$ is said to be admissible if the sums of the elements of two subsets of $𝒜$ of different cardinalities are different. We shall prove that if $𝒜\subset \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$ is an admissible set, then $Card𝒜\le (1+o\left(1\right)){(143/127)}^{1/2}\sqrt{N}$ improving preceding results of Erdös and Straus. From numerical calculations, some conjectures are given. Finally, we construct an infinite admissible set $𝒜$ such that $A\left(x\right)=\left\{a\in 𝒜;a\le x\right\}>>x^{5-2\sqrt{6}}$.

[1] P. Erdös, Számelméleti megjegyzések, III, Mat. Lapok 13 (1962), 28-38. | MR | Zbl

[2] E.G. Straus, On a problem in combinatorial number theory, J. Math. Sci. I (1966), 77-80. | MR | Zbl