Sommes de sous-ensembles

Erdös, P.; Nicolas, J.-L.; Sárkozy, A.

Erdös, P. ; Nicolas, J.-L. ; Sárkozy, A.

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 3 (1991) no. 1, pp. 55-72.

Résumé
Abstract

On dit qu'un ensemble $𝒜$ est admissible si les sommes des éléments de deux sous ensembles de $𝒜$ de cardinaux différents sont différentes. Nous démontrons que si $𝒜 \subset \{1, 2, \dots, N\}$ est admissible, alors Card $A \leq (1 + o (1)) {(143 / 27)}^{1 / 2} \sqrt{N}$ , améliorant ainsi les résultats de Erdös et Straus, et nous formulons quelques conjectures d'après des calculs numériques. Enfin nous construisons un ensemble infini admissible $𝒜$ vérifiant $A (x) = Card \{a \in 𝒜; a \leq x\} > > x^{5 - 2 \sqrt{6}}$ .

A set $𝒜$ is said to be admissible if the sums of the elements of two subsets of $𝒜$ of different cardinalities are different. We shall prove that if $𝒜 \subset \{1, 2, \dots, N\}$ is an admissible set, then $C a r d 𝒜 \leq (1 + o (1)) {(143 / 127)}^{1 / 2} \sqrt{N}$ improving preceding results of Erdös and Straus. From numerical calculations, some conjectures are given. Finally, we construct an infinite admissible set $𝒜$ such that $A (x) = \{a \in 𝒜; a \leq x\} > > x^{5 - 2 \sqrt{6}}$ .

MR Zbl | 3 citations dans Numdam

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TY  - JOUR
AU  - Erdös, P.
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TI  - Sommes de sous-ensembles
JO  - Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1991
SP  - 55
EP  - 72
VL  - 3
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PB  - Université Bordeaux I
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Erdös, P.; Nicolas, J.-L.; Sárkozy, A. Sommes de sous-ensembles. Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 3 (1991) no. 1, pp. 55-72. https://www.numdam.org/item/JTNB_1991__3_1_55_0/

Bibliographie
Cité par

[1] P. Erdös, Számelméleti megjegyzések, III, Mat. Lapok 13 (1962), 28-38. | MR | Zbl

[2] E.G. Straus, On a problem in combinatorial number theory, J. Math. Sci. I (1966), 77-80. | MR | Zbl