Sur la transcendance de la série formelle Π
Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 2 (1990) no. 1, pp. 103-117.

En utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy, nous donnons une démonstration élémentaire de la transcendance de la série formelle Π ainsi que d’autres séries formelles à coefficients dans un corps fini.

Using the theorem of Christol, Kamae, Mendès France and Rauzy, we give an elementary proof of the transcendence of the formal power series Π as well as the transcendence of other formal power series with coefficients in a finite field.

Mots-clés : Carlitz zeta function, formal series Π, transcendence, finite automata 
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[1] J.-P. Allouche Somme des chiffres et transcendance, Bull. Soc. Math. France 110 (1982), 279-285. | Numdam | MR | Zbl

[2] J.-P. Allouche Automates finis en théorie des nombres, Expo. Math. 5 (1987), 239-266. | MR | Zbl

[3] J.-P. Allouche Note sur un article de Sharif et Woodcock, Sém. de Théorie des Nombres de Bordeaux 1,1 2ème série (1989), 163-187. | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-P. Allouche, J. Bétréma et J. Shallit Sur des points fixes de morphismes d'un monoïde libre, R.A.I.R.O, Informatique théorique et applications 23,3 (1989), 235-249.. | Numdam | MR | Zbl

[5] L. Carlitz On Certain functions connected with polynomials in a Galois field, Duke Math. J., 1 (1935), 137-168. | JFM | MR | Zbl

[6] L. Carlitz Some topics in the arithmetic of polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 679-691. | MR | Zbl

[7] H. Chérif Mesure d'irrationalité des valeurs de la fonction zéta de Carlitz sur F2[T], Thèse (1987), Bordeaux. Voir aussi H. Chérif et B. De Mathan, Mesure d'irrationalité de la valeur en 1 de la fonction zéta de Carlitz relative à F2 [T], C.R. Acad. Sci. Paris 305, Série I (1987), 761-763. | Zbl

[8] G. Christol, T. Kamae, M. Mendès France et G. Rauzy Suites algébriques, automates et substitutions, Bull. Soc. Math. France 108 (1980), 401-419. | Numdam | MR | Zbl

[9] A. Cobham On the base dependence of sets of numbers recognisable by finite automata, Math. Systems Theory 3 (1969), 186-192. | MR | Zbl

[10] A. Cobham Uniform tag sequences, Math. Systems Theory 6 (1972), 164-192. | MR | Zbl

[11] G. Damamme Irrationalité de ζ(s) dans le corps des séries formelles Fq ((1/t)), C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 9,5 (1987), 207-212. | Zbl

[12] G. Damamme et Y. Hellegouarch Propriétés de transcendance des valeurs de la fonction zéta de Carlitz, C.R. Acad. Sci. Paris 307, Série I (1988), 635-637. | MR | Zbl

[13] Y. Hellegouarch Propriétés arithmétiques des séries formelles à coefficients dans un corps fini, C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 8,2 (1986), 115-120. | MR | Zbl

[14] Y. Hellegouarch Notions de base pour l'arithmétique de Fq((1/t)), Can. J. Math. 40,4 (1988), 817-832. | MR | Zbl

[15] L.I. Wade Certain quantities transcendental over GF(pn, x), Duke Math. J., 8 (1941), 701-720. | MR | Zbl

[16] L.I. Wade Certain quantities transcendental over GF(pn, x), II, Duke Math. J., 10 (1943),587-591. | MR | Zbl

[17] L.I. Wade Two types of function fields transcendental numbers, Duke Math. J., 1,1 (1944), 755-758. | MR | Zbl

[18] L.I. Wade Remarks on the Carlitz ψ-function, Duke Math. J., 13 (1946), 71-78. | Zbl

[19] L.I. Wade Transcendence properties of the Carlitz ψ-function, Duke Math. J., 13 (1946), 79-85. | Zbl

[20] J. Yu Transcendence and Drinfeld modules, Inv. Math. 83 (1986), 507-517. | MR | Zbl

[21] J. Yu Transcendence and Drinfeld modules, II, Math. Res. Cent. Rep. (1986), 172-181, Symp. Taipei/Taiwan. | Zbl

[22] J. Yu. in Zbl. Math. 644.12005 | Zbl

H. Chérif Mesure d'irrationalité de valeurs de la fonction zéta de Carlitz sur Fq [T], C.R. Acad. Sci. Paris 310, Série I (1990), 23-26. | MR | Zbl

G. Damamme Transcendance de la fonction zéta de Carlitz par la méthode de Wade, Thèse (1990), Caen.

J.M. Geijsel Transcendence in fields of positive characteristic, Thesis (1978), Amsterdam. | MR | Zbl

E.-U. Gekeler On power sums of polynomials over finite fields, J. Numb. Theory 30,1 (1988), 11-26. | MR | Zbl

D.S. Thakur Number fields and function fields (zeta and gamma functions at all primes), p-adic analysis, Proc. Conf. Houthalen/Belg (1986), 149-157. | MR | Zbl