Sur certains ensembles normaux

Borel, J.-P.

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 1 (1989) no. 1, pp. 67-79.

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$.

Let $\Lambda$ be a sequence of real numbers and $B\left(\Lambda \right)$ the associated normal set, i.e. the set of all real numbers $x$ such that $x\Lambda$ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given $A\subset ℝ$, does there exist a bounded sequence $\Lambda$ such that $A=B\left(\Lambda \right)$? In some particular cases, when $A\subset \mathbb{Z}$, we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval $I$ of $ℝ$ in which $\Lambda$ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial $P$ with no positive root, find the minimal degree $\delta Q$ of those polynomials $Q$ such that the product $P.Q$ has only positive coefficients.

Classification : 11K06
Mots clés : ensembles normaux, répartition modulo 1

[1] A.S. Besicovitch, On the density of certain sequences of integers, Math. Annalen 110 (1934), 336-341. | JFM | MR | Zbl

[2] J.-P. Borel, Suites de longueur minimale associées à un ensemble normal donné, Israel J. of Math. 64 (1988), 229-250. | MR | Zbl

[3] J.-P. Borel, Parties d'ensembles b-normaux, Manuscripta Math. 62 (1988), 317-335. | MR | Zbl

[4] J.-P. Borel, Polynômes à coefficients positifs multiples d'un polynôme donné, exposé au colloque 50 ans sur les polynômes, (mai 1988, I.H.P.). à paraître.

[5] J.-P. Borel, Produits de convolution positifs, Publ. du dép. de Math. Université de Limoges 11 (1989). à paraître

[6] H.G. Diamond et M. Essen, Functions with non-négative convolutions, J. of Math. Analysis and Applications 63 (1978), 463-489. | MR | Zbl

[7] F. Dress, Intersection d'ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970), 352-362. | MR | Zbl

[8] F. Dress et M. Mendès France, Caractérisation des ensembles normaux dans Z, Acta Arith. 17 (1970), 115-120. | MR | Zbl

[9] P. Erdôs, Note on a sequence of integers none of which is divisible by anyother, J. London Math. Soc. 10 (1935), 126-128. | JFM

[10] M. Mendès France, La réunion des ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970), 345-351. | MR | Zbl

[11] E. Meissner, Über positive Darstellung von Polynomen, Math. Annalen 70 (1911), 223-235. | JFM | MR

[12] G. Rauzy, Caractérisation des ensembles normaux, Bull. Soc. Math. France 98 (1970), 401-414. | Numdam | MR | Zbl

[13] G. Tenenbaum, Un problème de probabilité conditionnnelle en arithmétique, Acta Arith. 49 (1987), 165-187. | MR | Zbl