Note sur un article de Sharif et Woodcock

Allouche, Jean-Paul

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 1 (1989) no. 1, pp. 163-187.

H. Sharif et C. Woodcock donnent dans [26] une caractérisation des séries formelles à coefficients dans un corps $K$ de caractéristique non nulle et algébriques sur $K\left(X\right)$ ; ils en déduisent simplement l’algébricité du produit de Hadamard ou des diagonales de séries algébriques. (Ces résultats ont aussi été obtenus par T. Harase [14]). Nous donnons ici une démonstration légèrement différente de leur théorème et montrons comment on peut en déduire une généralisation intéressante de la notion de $p^k$-substitution sur un alphabet infini (inclus dans un corps de caractéristique $p$). Dans la dernière partie de cet article nous revenons sur l’indépendance algébrique de certaines séries formelles étudiées dans [2].

H. Sharif and C. Woodcock give in [26] a characterization of formal power series with coefficients in a field $K$ of positive characteristic, which are algebraic over $K\left(X\right)$. They deduce in a simple way from this theorem the algebraicity of Hadamard products and diagonals of algebraic power series. (These results have been also obtained by T. Harase [14]). We give here a slightly different proof of their theorem and we show how it can lead to an interesting generalization of the notion of $p^k$-substitution on an infinite alphabet (included in a field of characteristic $p$). In the last part of this paper we come back to the algebraic independence of certain formal power series which have been previously studied in [2].

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