Environmental data: multivariate Extreme Value Theory in practice

Cai, Juan Juan; Fougères, Anne-Laure; Mercadier, Cécile

Journal de la société française de statistique, Tome 154 (2013) no. 2, pp. 178-199.

Nous nous intéressons à deux variables quantitatives mesurées au cours du temps, formant ainsi une série temporelle bivariée $(X_t,Y_t)$ supposée stationnaire. Nous souhaitons estimer une probabilité de défaillance, définie comme la probabilité $\mathbb{P}(X_t>x,Y_t>y)$, où $x$ et $y$ sont deux valeurs extrêmes (trop grandes pour être observées, ou presque). Plus précisément, $x$ et $y$ représentent des niveaux de retour dont l’estimation sera effectuée par trois méthodes concurrentes issues de la théorie univariée des valeurs extrêmes. La théorie multivariée des valeurs extrêmes fournira des estimateurs de la probabilité de défaillance prenant en compte la dépendance, pouvant subsister ou au contraire s’effacer lorsque l’on se focalise sur les valeurs extrêmes. Nous présenterons plusieurs méthodes d’estimation, fondées sur des approches introduites par Draisma et al. (2004) d’une part, et par Heffernan and Tawn (2004) d’autre part. Nous mettrons ensuite en concurrence les estimateurs déduits sur des simulations dans un premier temps, puis sur des données réelles environnementales. Les résultats obtenus seront finalement discutés.

Let $(X_t,Y_t)$ be a bivariate stationary time series in some environmental study. We are interested to estimate the failure probability defined as $P(X_t>x,Y_t>y)$, where $x$ and $y$ are high return levels. For the estimation of high return levels, we consider three methods from univariate extreme value theory, two of which deal with the extreme clusters. We further derive estimators for the bivariate failure probability, based on Draisma et al. (2004) ’s approach and on Heffernan and Tawn (2004) ’s approach. The comparison on different estimators is demonstrated via a simulation study. To the best of our knowledge, this is the first time that such a comparative study is performed. Finally, we apply the procedures to the real data set and the results are discussed.

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