Completed Iwahori-Hecke algebras and parahoric Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields

Abdellatif, Ramla; Hébert, Auguste

Journal de l’École polytechnique - Mathématiques, Tome 6 (2019), pp. 79-118.

Soit $G$ un groupe de Kac-Moody déployé sur un corps local non archimédien. Nous définissons une complétion de l’algèbre d’Iwahori-Hecke de $G$, puis nous prouvons que son centre est isomorphe (via l’isomorphisme de Satake) à l’algèbre de Hecke sphérique de $G$, ce qui est analogue au cas des groupes réductifs. Notre outil principal est la masure associée à $G$, qui joue ici un rôle similaire à celui de l’immeuble de Bruhat-Tits dans le cas réductif. Dans une seconde partie, nous associons une algèbre de Hecke à chaque face sphérique $F$ de type $0$. Jusqu’à présent cette construction n’était connue que pour le sous-groupe sphérique et le sous-groupe d’Iwahori.

Let $G$ be a split Kac-Moody group over a non-Archimedean local field. We define a completion of the Iwahori-Hecke algebra of $G$, then we compute its center and prove that it is isomorphic (via the Satake isomorphism) to the spherical Hecke algebra of $G$. This is thus similar to the situation for reductive groups. Our main tool is the masure $ℐ$ associated to this setting, which plays here the same role as Bruhat-Tits buildings do for reductive groups. In a second part, we associate a Hecke algebra to each spherical face $F$ of type $0$, extending a construction that was only known, in the Kac-Moody setting, for the spherical subgroup and for the Iwahori subgroup.

Classification : 20G44, 20C08, 20E42
Keywords: Kac-Moody groups, Hecke algebras, masure, local fields, Iwahori-Hecke algebras
Mot clés : Groupes de Kac-Moody, algèbres de Hecke, masure, corps locaux, algèbres d’Iwahori-Hecke

[BK11] Braverman, A.; Kazhdan, D. The spherical Hecke algebra for affine Kac-Moody groups I, Ann. of Math. (2) (2011), pp. 1603-1642 | DOI | MR | Zbl

[BKP16] Braverman, A.; Kazhdan, D.; Patnaik, M. M. Iwahori–Hecke algebras for $p$-adic loop groups, Invent. Math., Volume 204 (2016) no. 2, pp. 347-442 | DOI | MR | Zbl

[BPGR16] Bardy-Panse, N.; Gaussent, S.; Rousseau, G. Iwahori-Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields, Pacific J. Math., Volume 285 (2016) no. 1, pp. 1-61 | DOI | MR | Zbl

[BT72] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 41 (1972) no. 1, pp. 5-251 | DOI | Zbl

[BT84] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 60 (1984) no. 1, pp. 5-184 | DOI

[GR08] Gaussent, S.; Rousseau, G. Kac-Moody groups, hovels and Littelmann paths, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 58 (2008) no. 7, pp. 2605-2657 | DOI | MR | Zbl

[GR14] Gaussent, S.; Rousseau, G. Spherical Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields, Ann. of Math. (2), Volume 180 (2014) no. 3, pp. 1051-1087 | DOI | MR | Zbl

[Hum92] Humphreys, J. E. Reflection groups and Coxeter groups, 29, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992 | Zbl

[Héb16] Hébert, A. Distances on a masure (affine ordered hovel) (2016) (arXiv:1611.06105)

[Héb17a] Hébert, A. Convexity in a masure (2017) (arXiv:1710.09272)

[Héb17b] Hébert, A. Gindikin-Karpelevich Finiteness for Kac-Moody Groups Over Local Fields, Internat. Math. Res. Notices (2017) no. 22, pp. 7028-7049 | MR | Zbl

[IM65] Iwahori, N.; Matsumoto, H. On some Bruhat decomposition and the structure of the Hecke rings of $p$-adic Chevalley groups, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 25 (1965), pp. 5-48 | DOI | Zbl

[Iwa64] Iwahori, N. On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group over a finite field, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., Volume 10 (1964), pp. 215-236 | MR | Zbl

[Kac94] Kac, V. G. Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994

[Kum02] Kumar, S. Kac-Moody groups, their flag varieties and representation theory, Progress in Math., 204, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002 | MR | Zbl

[Loo80] Looijenga, E. Invariant theory for generalized root systems, Invent. Math., Volume 61 (1980) no. 1, pp. 1-32 | DOI | MR | Zbl

[Lus83] Lusztig, G. Singularities, character formulas, and a $q$-analog of weight multiplicities, Analyse et topologie sur les espaces singuliers, II, III (Luminy, 1981) (Astérisque), Volume 101-102, Société Mathématique de France, Paris, 1983, pp. 208-229 | Zbl

[Lus89] Lusztig, G. Affine Hecke algebras and their graded version, J. Amer. Math. Soc., Volume 2 (1989) no. 3, pp. 599-635 | DOI | MR | Zbl

[NR03] Nelsen, K.; Ram, A. Kostka-Foulkes polynomials and Macdonald spherical functions, Surveys in combinatorics, 2003 (Bangor) (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), Volume 307, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003, pp. 325-370 | DOI | MR | Zbl

[Opd03] Opdam, E. M. A generating function for the trace of the Iwahori-Hecke algebra, Studies in memory of Issai Schur (Chevaleret/Rehovot, 2000) (Progress in Math.), Volume 210, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2003, pp. 301-323 | DOI | MR | Zbl

[Par06] Parkinson, J. Buildings and Hecke algebras, J. Algebra, Volume 297 (2006) no. 1, pp. 1-49 | DOI | MR | Zbl

[Rou11] Rousseau, G. Masures affines, Pure and Applied Mathematics Quarterly, Volume 7 (2011) no. 3, pp. 859-921 | DOI | MR | Zbl

[Rou16] Rousseau, G. Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local II. Masures ordonnées, Bull. Soc. math. France, Volume 144 (2016) no. 4, pp. 613-692 | DOI | Zbl

[Rou17] Rousseau, G. Almost split Kac-Moody groups over ultrametric fields, Groups Geom. Dyn., Volume 11 (2017), pp. 891-975 | DOI | MR | Zbl

[Rém02] Rémy, B. Groupes de Kac-Moody déployés et presque déployés, Astérisque, 277, Société Mathématique de France, Paris, 2002 | Zbl

[Shi59] Shimura, G. Sur les intégrales attachées aux formes automorphes, J. Math. Soc. Japan, Volume 11 (1959), pp. 291-311 | DOI | Zbl

[Tit87] Tits, J. Uniqueness and presentation of Kac-Moody groups over fields, J. Algebra, Volume 105 (1987) no. 2, pp. 542-573 | DOI | MR | Zbl

[Vig96] Vignéras, M.-F. Représentations $\ell$-modulaires d’un groupe réductif $p$-adique avec $\ell \ne p$, Progress in Math., 137, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996