Arithmetic theory of $E$-operators

Fischler, Stéphane; Rivoal, Tanguy

Journal de l’École polytechnique - Mathématiques, Tome 3 (2016), pp. 31-65.

Dans [1], André a introduit les $E$-opérateurs, une classe d’opérateurs différentiels intimement liés aux $E$-fonctions, et il a construit des bases locales de solutions pour ces opérateurs. Dans cet article on étudie la nature arithmétique des constantes de connexion des $E$-opérateurs à distance finie, et des constantes de Stokes à l’infini. On démontre qu’elles mettent en jeu des valeurs de $E$-fonctions en des points algébriques dans le premier cas, et dans le second des valeurs de $G$-fonctions et des dérivées de la fonction Gamma en des points rationnels. Comme application, on définit et on étudie une classe de nombres qui possèdent certaines approximations algébriques définies en termes de $E$-fonctions. Ces types d’approximations sont motivés par les réduites du nombre $e$, et par des constructions récentes d’approximations de la constante d’Euler et de valeurs de la fonction Gamma. Nos résultats et nos méthodes sont complètement différents de ceux de notre article [11], dans lequel nous avons étudié des questions similaires pour les $G$-fonctions.

In [1], André has introduced $E$-operators, a class of differential operators intimately related to $E$-functions, and constructed local bases of solutions for these operators. In this paper we investigate the arithmetical nature of connection constants of $E$-operators at finite distance, and of Stokes constants at infinity. We prove that they involve values at algebraic points of $E$-functions in the former case, and in the latter one, values of $G$-functions and of derivatives of the Gamma function at rational points in a very precise way. As an application, we define and study a class of numbers having certain algebraic approximations defined in terms of $E$-functions. These types of approximations are motivated by the convergents to the number $e$, as well as by recent constructions of approximations to Euler’s constant and values of the Gamma function. Our results and methods are completely different from those in our paper [11], where we have studied similar questions for $G$-functions.

Classification : 11J91, 33E30, 34M40, 44A10
Keywords: E-operator, G-operator, Laplace transform, special value, arithmetic Gevrey series, asymptotic expansion
Mot clés : E-opérateur, G-opérateur, transformée de Laplace, valeur spéciale, série Gevrey arithmétique, développement asymptotique

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