Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs

Campana, Fréderic; Claudon, Benoît; Eyssidieux, Philippe

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 1 (2014), pp. 331-342.

Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si $G\subset {\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$ est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien ${\pi }_1\left(X\right)$, il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse $X^{\text{'}}$.

Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe fondamental d’une variété kählérienne compacte est aussi celui d’une variété projective complexe lisse.

In this note we establish the following result, announced in [CCE13]: if $G\subset {\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$ is the image of a linear representation of a Kähler group ${\pi }_1\left(X\right)$, then it has a subgroup of finite index which is the image of a linear representation of the fundamental group of some smooth complex projective variety $X^{\text{'}}$.

This result provides thus, for linear representations, the solution (up to finite index) of a usual question asking if the fundamental group of a compact Kähler manifold $X$ is also that of a smooth complex projective variety.

Classification : 32Q15, 32Q55, 32G05, 14D07
Mot clés : Groupes kählériens, problème de Kodaira, famille lisse de tores complexes, déformations relatives
Keywords: Kähler groups, Kodaira problem, smooth family of complex tori, relative deformations

[Ara11] Arapura, D. Homomorphisms between Kähler groups, Topology of algebraic varieties and singularities (Contemp. Math.), Volume 538, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011, pp. 95-111 | DOI | MR | Zbl

[BL04] Birkenhake, C.; Lange, H. Complex abelian varieties, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 302, Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp. xii+635 | DOI | MR | Zbl

[BR11] Baues, O.; Riesterer, J. Virtually abelian Kähler and projective groups, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 81 (2011) no. 2, pp. 191-213 | DOI | MR | Zbl

[Buc06] Buchdahl, N. Algebraic deformations of compact Kähler surfaces, Math. Z., Volume 253 (2006) no. 3, pp. 453-459 | DOI | MR | Zbl

[Buc08] Buchdahl, N. Algebraic deformations of compact Kähler surfaces. II, Math. Z., Volume 258 (2008) no. 3, pp. 493-498 | DOI | MR | Zbl

[Cam06] Campana, F. Isotrivialité de certaines familles kählériennes de variétés non projectives, Math. Z., Volume 252 (2006) no. 1, pp. 147-156 | DOI | MR | Zbl

[Cam81] Campana, F. Coréduction algébrique d’un espace analytique faiblement kählérien compact, Invent. Math., Volume 63 (1981) no. 2, pp. 187-223 | DOI | MR | Zbl

[CCE13] Campana, F.; Claudon, B.; Eyssidieux, Ph. Représentations linéaires des groupes kählériens : factorisations et conjecture de Shafarevich linéaire (2013) (arXiv :1302.5016)

[Cla10] Claudon, B. Invariance de la $\Gamma$-dimension pour certaines familles kählériennes de dimension $3$, Math. Z., Volume 266 (2010) no. 2, pp. 265-284 | DOI | MR | Zbl

[Del68] Deligne, P. Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1968) no. 35, pp. 259-278 | Numdam | MR | Zbl

[Nak91] Nakayama, N. Compact Kähler manifolds whose universal covering spaces are biholomorphic to ${ℂ}^n$ (1991) (preprint RIMS no 1230, citeseerx)

[Ser06] Sernesi, E. Deformations of algebraic schemes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 334, Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. xii+339 | MR | Zbl

[Var84] Varouchas, J. Stabilité de la classe des variétés kählériennes par certains morphismes propres, Invent. Math., Volume 77 (1984) no. 1, pp. 117-127 | DOI | MR | Zbl

[Voi02] Voisin, C. Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, Cours Spécialisés, 10, Société Mathématique de France, Paris, 2002, pp. viii+595 | DOI | MR | Zbl

[Voi04] Voisin, C. On the homotopy types of compact Kähler and complex projective manifolds, Invent. Math., Volume 157 (2004) no. 2, pp. 329-343 | DOI | MR | Zbl

[Voi05] Voisin, C. Recent progresses in Kähler and complex algebraic geometry, European Congress of Mathematics, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005, pp. 787-807 | MR | Zbl

[Voi06] Voisin, C. On the homotopy types of Kähler manifolds and the birational Kodaira problem, J. Differential Geom., Volume 72 (2006) no. 1, pp. 43-71 http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143593125 | MR | Zbl

[Voi11] Voisin, C. Chow rings, decomposition of the diagonal and the topology of families (2011) (Notes pour les Leçons Hermann Weyl, disponible sur la page http://www.math.polytechnique.fr/~voisin)