Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs

Campana, Fréderic; Claudon, Benoît; Eyssidieux, Philippe

Journal de l’École polytechnique - Mathématiques, Tome 1 (2014), pp. 331-342.

Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si $G\subset {\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$ est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien ${\pi }_1\left(X\right)$, il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse $X^{\text{'}}$.

Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe fondamental d’une variété kählérienne compacte est aussi celui d’une variété projective complexe lisse.

In this note we establish the following result, announced in [CCE13]: if $G\subset {\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$ is the image of a linear representation of a Kähler group ${\pi }_1\left(X\right)$, then it has a subgroup of finite index which is the image of a linear representation of the fundamental group of some smooth complex projective variety $X^{\text{'}}$.

This result provides thus, for linear representations, the solution (up to finite index) of a usual question asking if the fundamental group of a compact Kähler manifold $X$ is also that of a smooth complex projective variety.

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